如何轉置 線性代數筆記 （5）置換和轉置

為了與上一節

曉得啦：線性代數筆記-（4）lu分解​zhuanlan.zhihu.com

但為了對

有更深刻的理解，我們再舉乙個關於他的例子作為複習。

example:

令 第一步用第二行減去第一行的

倍，然後從第三行減去第一行的

倍。 為明確減去第一行的倍數，我們令

, 。再消去

處的 ，則可完成消元過程。

令 表示從第三行減去第二行的倍數。如果稱結果矩陣為

之所以稱為

是因為它是上三角形矩陣（

upper triangular）的第乙個單詞的首字母，而且它的對角線的下方的元素全為；同理

為單位下三角形矩陣（

unitlower triangular）的lower的首字母，從下面這個矩陣中，我們很容易發現，它的主對角線上的元素全為，對角線上方的元素全為

。

則容易驗證

我們又可以再次回顧下第四講的乙個結論：對於

，如果不存在行互換，消元乘數即消元步驟中需要乘以並減去的那個倍數，消元乘數可以直接寫入

中。

那麼，現在，如果我們需要對行進行互換，我們該怎麼辦？

在矩陣的代數運算過程中，我們不可能保證，每次在計算過程中所遇到的首元均不為

。當首元為

時，我們就需要它與別的行進行互換。

在matlab中，matlab不僅會像人一樣，檢驗主元位置，檢驗它是否為0。它甚至不允許存在非常小的非零主元。主元接近於0，數值運算上很難處理，因此在matlab的實際運算中，它會對一些我們認為沒必要的行進行互換操作。雖然代數上，我們認為這沒有必要，但它對數值準確性是有影響的。

即置換（permutation），置換矩陣可以將某個矩陣的行與行之間進行互換。

permutation is the identity matrix with reordered rows.

比如乙個單位矩陣（identity）就是乙個置換矩陣。

任何乙個矩陣乘以

，表示這個矩陣不進行任何改變，即不進入任何的互換，這當然包括了行互換。

example:

所以單位矩陣

是不置換任何行的矩陣。

我們再來看另外乙個置換矩陣：

，它表示對某個矩陣的第二行和第三行進行互換。

example:

在上節，我們提到過乙個

的矩陣，有

個置換矩陣。

除此之外，作為置換矩陣，他還有乙個特別好的性質，即

之所以，說它好，是因為，乙個轉置矩陣乘以它本身就變為了單位矩陣。

即 這是因為定義

下面，我們再來說說轉置（transpose）。

所謂轉置就是把矩陣的行元素和列元素進行互換。用數學符號表示就是

example:

接著是對稱矩陣（symmetric matrices）：

example:

這就是乙個對稱矩陣。這裡都是正數這只是乙個偶然，對稱矩陣不需要如此，只要轉置以後形態不變的都是對稱矩陣。

這裡，我想引起大家的注意，這種具有轉置不變性質的矩陣，它們非常容易找到。之前，我們講過「轉置=逆」的矩陣，但這種矩陣數量稀少，遠沒現在這種情況普遍，畢竟這種情況只要求轉置等於其本身就行了。這很常見，我甚至隨時能求出對稱矩陣。

當然上面那個例子

，遠算不上對稱，它和

乙個站著，乙個趴著。

但我可以用它構造出乙個對稱矩陣出來，只需要把它們倆相乘。

現在，我令

令 只要將它們倆相乘，就能得到對稱矩陣。

我們先來乘乘看

結論：

is always symmetic.

那麼，用矩陣語言如何描述這種現象呢？

我們先思考這樣乙個問題，為什麼

是對稱的呢？

我們先把它轉置一下，希望它轉置後形式不變。

下面我們就開始轉置：

沒錯，將它轉置，最終還是得到了它。驗證完畢，沒有用任何具體的數字。

MIT 線性代數筆記 第五講 轉置，置換和空間

本節引入向量空間和子空間 置換與轉置 置換 permutations 記為p，是通過對單位矩陣進行行變換得到的。前面用消元法解線性方程組時 需要通過左乘乙個置換矩陣，通過行交換從主元位置移走。lu分解 由a lu變為pa lu，p就是對a的行向量進行重新排序的置換矩陣。置換矩陣的特殊性質 轉置 矩陣...

線性代數導論5 轉置 置換 向量空間R

第五課時 轉置 置換 向量空間r 本課時講解轉置和置換，然後講解線性代數的核心概念 向量空間。核心思想是，通過某些向量構成乙個向量組成的空間。這些向量屬於r n，構成的子空間也在r n中。一 置換矩陣permutation 置換矩陣 可進行交換的矩陣，是行重新排列了的單位矩陣。注意點 1 單位矩陣是...

線性代數 矩陣 轉置 C和C 的實現

本節介紹矩陣的轉置。矩陣的轉置即將矩陣的行和列元素調換，即原來第二行第一列 用c21表示，後同 與第一行第二列 c12 元素調換位置，原來c31與c13調換。即cij與cji調換 此處補圖說明 首先我們想到的是把第i行第j列取出來與第j行第i列調換，這種思路很簡單就不多說了。這裡提供另乙個思路，對整...