假設乙個情景，從1到n編號的n封信，投入同樣帶有編號的n個信箱，每個信箱只能投一封信。
要求：任何乙個信箱的編號與其中信的編號均不同。
問：一共有多少種投遞方式？
這便是大名鼎鼎的錯排問題，其答案為
該結論的證明知乎上已有許多大佬回答過，此處不再證明，提供乙個連線供讀者參考
inx：【組合計數】錯排問題zhuanlan.zhihu.com
觀察該公式，括號內的級數是不是似曾相識？
我們都知道，
在0處的taylor展開式為
代入 可得
於是，當n無窮大時，可知
然而，我們平時遇到的錯排問題往往是有限項的，上述極限在n很大時確實可以估計錯排數，但如果n比較小時，上述極限是否還有意義？
事實上，對於任意正整數n，算出
的值，然後四捨五入，得到的一定是錯排數的精確值
下面證明該結論
首先要想，四捨五入說明乙個什麼問題？
當 的小數部分大於
時，只需加上乙個不足
的數，即可得到
當 的小數部分小於
時，只需減去乙個不足
的數，即可得到
當 的小數部分等於
時，只需加上
，即可得到
也就是說，能夠通過
四捨五入的方法得到
，等價於二者之差的絕對值不足
，但若能夠取到
，必須有
由於取等情況較為複雜，暫不考慮，先證明絕對值之差是否嚴格小於
即 整理得
對數學比較敏感的讀者可能已經發現，絕對值號內的式子可以用lagrange餘項表示
lagrange餘項是這樣定義的
若乙個函式
在含 的區間
內有 階導數，則該函式可以表示為
其中 ,
為介於
與 之間的某個值，稱為lagrange餘項
可記為
其中 （就是把原式移項）
即lagrange餘項是描述函式與其taylor逼近多項式之間誤差的乙個多項式。
回到原題，這裡的
，於是此處的
絕對值號內
所以即
由此發現，絕對值之差是嚴格小於
的，不存在取等的情況，所以無需再做討論。
於是得到結論：
四捨五入為
的精確值
錯排的遞推公式及推導
嘻嘻 剛用電腦的photoshop做出來 f n n 1 f n 2 f n 1 顏書先生 裝錯信封問題 的數學模型與求解 一文 見 數學通報 2000 年第 6 期 p.35 給出了該經典問題的乙個模型和求解公式 編號為 1 2 n 的 n 個元素排成一列，若每個元素所處位置的序號都與它的編號不同...
錯排的遞推公式及推導
錯排遞推公式 f n n 1 f n 2 f n 1 顏書先生 裝錯信封問題 的數學模型與求解 一文 見 數學通報 2000 年第 6 期 p.35 給出了該經典問題的乙個模型和求解公式 編號為 1 2 n 的 n 個元素排成一列，若每個元素所處位置的序號都與它的編號不同，則稱這個排列為 n 個不同...
錯排的遞推公式及推導
f n n 1 f n 2 f n 1 顏書先生 裝錯信封問題 的數學模型與求解 一文 見 數學通報 2000 年第 6 期 p.35 給出了該經典問題的乙個模型和求解公式 編號為 1 2 n 的 n 個元素排成一列，若每個元素所處位置的序號都與它的編號不同，則稱這個排列為 n 個不同元素的乙個錯排...