預備知識 角動量(量子)
本文使用原子單位制．在量子力學中，我們一般把角動量算符放在球座標中表示．把軌道角動量算符在直角座標系中的定義(式 2)通過鏈式法則用球座標表示(留作習題)．
\begin
l_x = \mathrm \left(\sin\phi \frac} + \cot\theta\cos\phi \frac} \right)
\end
\begin
l_y = \mathrm \left(-\cos\phi \frac} + \cot\theta \sin\phi \frac} \right)
\end
\begin
l_z = - \mathrm \frac}
\end
\begin
l^2 = l_x^2 + l_y^2 + l_z^2 = -\frac \frac} \left(\sin \theta \frac \right) - \frac \frac}^}
\end
注意 $l^2$ 恰好是球座標系中拉普拉斯算符的角向部分(式 5)$ \boldsymbol^2 _\omega$ 的負．
\begin
l^2 = - \boldsymbol^2 _\omega
\end
這並不奇怪，經典力學中球坐的哈密頓量可以記為(式 9)
\begin
h = \frac + \frac + v
\end
其中 $p_r = m\dot r$，$l = mr^2\dot\theta$．而量子力學的哈密頓算符在球座標中可以用式 5分解為
\begin
h = -\frac \boldsymbol^2 + v = \frac^2 _r} +\frac^2 _\omega} + v
\end
這讓我們很容易猜出 $p_r^2 = - \boldsymbol^2 _r$ 和式 5．
模擬動量算符 $ \boldsymbol} = - \mathrm \boldsymbol\nabla $，我們可以定義 $ \boldsymbol\nabla _\omega$ 滿足
\begin
\boldsymbol} = - \mathrm \boldsymbol\nabla _\omega
\end
於是 $ \boldsymbol^2 _\omega$ 可以看作是兩個 $ \boldsymbol\nabla _\omega$ 相乘而得．
角動量算符的本徵函式
預備知識 球諧函式
我們已經知道 $l^2, l_z$ 對易且具有共同本徵矢 $ \left\lvert l, m \right\rangle $，現在我們在球座標中求解它的波函式．來看本徵方程
\begin
l_z \left\lvert l, m \right\rangle = m \left\lvert l, m \right\rangle
\end
\begin
l^2 \left\lvert l, m \right\rangle = l(l+1) \left\lvert l, m \right\rangle
\end
它的解就是球諧函式 $y_(\theta,\phi)$．但本徵波函式應該是三維的，所以任意波函式 $r(r)y_(\theta, \phi)$ 都是 $l^2$ 和 $l_z$ 的共同本徵波函式．
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