微分方程的齊次解與特解
乙個微分方程的完全解=齊次解 + 特解
微分方程的特解形式完全由外加激勵所決定，外加激勵是指數形式，方程特解就是指數形式；而齊次解完全由內部激勵(系統的固有結構)決定。
響應的劃分：
全響應=零輸入響應 + 零狀態響應
全響應=瞬(暫)態響應 + 穩態響應
全響應=自由響應 (與外加激勵無關)+ 強迫響應(顧名思義，受迫於外加激勵)
其中首先需要分清的地方就在於，零輸入響應是齊次解的一部分，不等價於齊次解。
零輸入響應指外加激勵e ( t ) = 0 e(t)=0e(t)=0，其響應指的是系統的原始儲能，所以零狀態響應即系統的原始儲能(初始狀態r ( 0 − ) r(0_)r(0−))為0，只有外部激勵產生響應。
以下通過兩個角度來分析
一. 概念的角度
定義的不同
①自由響應(對應齊次解)是指動態電路的完全響應中，
已由初始條件確定待定係數k的微分方程通解部分，它的函式形式是由電路系統本身結構決定的，與外加激勵無關。
②零輸入響應是指在沒有外加激勵時，僅由t = 0時刻的非零初始狀態引起的響應，即電路系統中的原始儲能引起的響應。
性質的不同
①自由響應的函式形式由電路系統的本身結構來決定，基本上與外加激勵無關；
②零輸專入響應在一定程度上取決於初始狀態和電路特屬性，這種響應隨時間按指數規律衰減。
範圍不同
①自由響應不但包括零輸入響應，還含有零狀態響應中的一部分；
②零輸入響應只能屬於自由響應的一部分。
二. 通過數學角度可以直觀地看出零輸入響應是齊次解的一部分
已知全解=齊次解 + 特解
自由響應對應的就是齊次解(系統函式決定，與外加激勵無關，此齊次解應為不含常數項)，強迫響應對應的就是特解(外加激勵決定，此特解為常數項)；
然而求解過程中得到的零輸入響應和零狀態響應明顯各包含一部分齊次解的分量，
故只能說零輸入響應是齊次解的一部分，實際上：齊次解= 零輸入響應 + 零狀態響應的一部分。
即自由響應不等同於零輸入響應，自由響應=零輸入響應+零狀態響應中的一部分。
關於暫態響應和穩態響應
暫態響應
動態電路全響應中，當t→∞時，趨於0的部分，稱為暫態響應；
穩態響應
動態電路全響應中，除去暫態響應，剩下的部分稱為穩態響應。
通俗地講：
穩態就是系統穩定後的數值
瞬態就是輸入的時刻系統的相應，在時間常數之內的變化比較大，達到穩態之前的過程
自然響應就是本徵響應，跟訊號的輸入沒有關係，只跟系統本身有關。
受迫響應就是有訊號輸入影響的響應。
通過s域系統函式的極點分布來分析
極點在左半軸為指數衰減；虛軸上為等幅；在右半軸為指數增長。
已知零狀態響應，時域上r ( t ) = e ( t ) ∗ h ( t ) r(t)=e(t)*h(t)r(t)=e(t)∗h(t)，時域上卷積對應復頻域上乘積r ( s ) = e ( s ) h ( s ) r(s)=e(s)h(s)r(s)=e(s)h(s)
暫態響應和穩態響應的區分也是如此
一般情況下，對於穩定系統，h ( s ) h(s)h(s)極點的實部都小於0(極點位於左半軸)，故自由響應函式呈衰減形式，在這種情況下，自由響應就是瞬態響應，強迫響應就是穩態響應。
若有全響應r ( t ) = 1.5 + 2 e − t − 2.5 e − 2 t r(t) = 1.5 + 2e^-2.5er(t)=1.5+2e−t−2.5e−2t，則
但需要注意特殊情況：
如果激勵訊號本身就是衰減訊號，即極點在左半軸，當時間t tt趨於無窮大以後，強迫響應也等於0，這時，強迫響應與自由響應一起組成瞬(暫)態響應(因為最後都趨於0了，這是瞬態響應的定義)，而系統的穩態響應等於0；
當極點在虛軸上或是原點處是，其自由響應就是無休止的等幅振盪，自由響應也就成為穩態響應，這是一種特例(成為臨界(或邊界)穩定系統)；
當極點位於右半軸，則自由響應是增幅振盪，這屬於不穩定系統。
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