在昨天對熱風槍工作電壓與出口風溫度建立三階線性模型的時候，遇到乙個奇怪的問題：同樣的離散時間系統函式，在matlab中和python環境中對應的單位階躍響應結果居然不一樣！乙個是穩定的系統輸出，另乙個則是發散的系統輸出。
使用matlab中的系統建模工具對熱風槍chirp激勵和輸出資料建立三階模型，並輸出該模型的離散系統傳遞函式：tf2。
基於chirp訊號激勵下系統資料資料建模響應曲線
在matlab中顯示 tf2 的資料。可以得到該離散時間系統函式有理多項式對應的分子和分母的係數：
在matlab中使用step(tf2)可以獲得該系統的單位衝擊響應，如下圖所示，這是乙個穩定的系統。
但是，如果使用上述係數a,b數值，直接呼叫python語音中系統iir濾波器命令scipy.signal.lfilter，來獲得該系統在單位階躍訊號下的相應，就會發現該系統的輸出則會指數發散。
out = scipy.signal.lfilter(b, a, x)
上面命令中，x是取值為常量1的序列，表示系統的輸入是單位階躍訊號。下圖是系統的輸出。
為什麼同乙個系統函式在matlab中，使用step命令可以獲得穩定輸出，而在python中使用lfilter，則結果發散呢？
一開始對此百思不得其解，後來想到這方面的原因就在於matlab中，顯示系統函式資訊的時候，對於多項式係數顯示小數的有效位數太少了，造成係數出現微小的誤差，這就會使得原本穩定的系統，變得不穩定。
在matlab，使用 format long命令，設定顯示數字的有效位數增加。
使用tf2.numerator, tf2.denominator分別顯示系統函式有理分式的分子和分母係數分別如下：
a = [1.000000000000000
-2.910740864813083
2.823137168435703
-0.912385540445608]
b=[0 0.000435011287573652
-0.000429964660727815]
使用上述高精度的係數，在python中使用lfilter命令獲得系統單位階躍響應，它就是穩定的輸出的。如下圖所示：
由於傳遞函式係數的有效數字減小，這使得對應有理多項式係數發生小的改變，由此引起系統從原來穩定變到不穩定。從這個現象說明該系統具有靠近單位圓的極點，微小的移動，會使得這些極點從單位圓內，移動到單位圓外，從而使得系統變得不穩定。
在matlab中，使用iopzplot命令，可以繪製出離散時間系統的零極點分布圖。
對於數字系統係數取高精度數值時，它具有三個極點和兩個零點，都位於單位圓內。零極點分布如下圖所示，由於所有的零點和極點都位於單位圓內，所以該離散時間系統為最小相位穩定系統。
區域性放大靠近(1,0)處，可以看到三個極點的分布情況，其中有兩個極點非常靠近單位圓。
當離散系統傳遞函式係數的有效數字降低後，相應的零極點就會有改變，特別是哪兩個靠近單位圓的極點，就有可能移動到單位圓外。
b=[0.0, 0.000435, -0.000429]a=[1.0, -2.910, 2.823, -0.912]
下圖顯示了在上述只有四個有效數字係數時，對應系統函式零極點的分布位置。其中原來兩個單位圓內的極點已經移動到單位圓外。此時系統已經不穩定了，對應系統的輸出將會呈現指數增長。
下圖顯示了對於不同有效數字個數時系統函式對應的零極點的位置變化。當有效數字小於等於4個時，有一對共軛極點移動到單位圓外，此時系統就不再是穩定的系統了。
下圖顯示了對於不同有效數字個數時對應系統的單位衝激響應。當有效數字小於等於4個時，原來穩定的系統就會變得發散了。
本學期很快就到了最後的幾周了，這學期的訊號與系統課程也進入了後半程。下週就開始講解線性時不變系統在變換域內的分析，其中乙個主要內容，就是利用系統函式來分析系統的動態特性和穩態特性。本文中對數字濾波器的零極點分析就是課程這部分內容的具體應用。
到了本月底，自動化系的學生將迎來自己的學生節。本次學生節的名字叫做「脈衝響應」，與自動化系學科倒是顯得非常貼切，不知道這是誰的腦洞。
這次學生節演出中，不僅有豐富多彩的學生文藝演出作品，同時還準備了令人興奮的現場**活動。看到這些獎品就能知道自動化系外聯部**拉贊助是多麼的辛苦了。
階躍響應，正半軸上，
八十八個三等獎散落大禮堂每一行！
衝激響應，咬定一方，
萬元清空購物車 鎖定觀眾席正**！
受迫響應，激勵獨享，
訊號發生示波器新鮮出爐等你來搶！
脈衝響應，即將登場，
難道不來領取獎券中屬於你的那張？
差分方程的零輸入響應與零狀態響應
差分方程的經典分析方法存在以下不足之處 若激勵訊號發生變化，則特解部分需要重新求解。若差分方程右邊激勵項比較複雜，則難以處理。若初始條件發生變化，則須全部重新求解 這種方法是一種純數學方法，無法突出系統響應的物理概念。差分方程的迭代分析方法存在以下不足之處 沒有得出閉式解，不利於數學上進行分析 需要...
差分方程的零輸入響應與零狀態響應
差分方程的經典分析方法存在以下不足之處 若激勵訊號發生變化，則特解部分需要重新求解。若差分方程右邊激勵項比較複雜，則難以處理。若初始條件發生變化，則須全部重新求解 這種方法是一種純數學方法，無法突出系統響應的物理概念。差分方程的迭代分析方法存在以下不足之處 沒有得出閉式解，不利於數學上進行分析 需要...
復頻域求零輸入響應 零輸入響應是齊次解的一部分
微分方程的齊次解與特解 乙個微分方程的完全解 齊次解 特解 微分方程的特解形式完全由外加激勵所決定，外加激勵是指數形式，方程特解就是指數形式 而齊次解完全由內部激勵 系統的固有結構 決定。響應的劃分 全響應 零輸入響應 零狀態響應 全響應 瞬 暫 態響應 穩態響應 全響應 自由響應 與外加激勵無關 ...