線段樹詳解

有這樣一類問題設有長度為n的數列需要進行一些操作比如求區間的最大值（求某個區間的和或者在進行某些修改操作後再求區間的和 ) 如果用普通的陣列儲存數列然後進行暴力求解的話總複雜度是很大的(當數列很長查詢的次數很多時) 這種方法肯定是不可取的

對於這種問題，有一種神奇的資料結構，能在o(mlog2 n)的時間內解決，這就是線段樹。

那你學習線段樹不得知道怎麼構建乙個線段樹嗎？

差不多就是這樣如下圖

（畫的有點醜）

將這個線段樹整合放到陣列裡面就是下面這樣的tree陣列打×的位置是沒有此節點的線段樹節點旁邊的數字就是在陣列中的下標

很容易發現當前a節點(node為a節點的下標)的左孩子的下標left=node2+1，

右孩子的下標right=node2+2;

現在我們就有兩個陣列了乙個原始陣列arr,乙個線段樹陣列tree;

void
build
(ll l, ll r, ll node)
int mid =
(l + r)/2
;build
(l, mid, node *2)
;build
(mid +
1, r, node *2+
1); tree[node]
= tree[node *2]
+ tree[node *2+
1];}

其實就是運用遞迴折半進行構造的

void
update
(ll s, ll t, ll l, ll r, ll node)
else
}

比如現在你就要求arr陣列的arr[0]到arr[4]中所有數的和

一般操作來說我們需要找到arr陣列中的值在tree陣列中對應的值然後再加起來

但是既然我們已經把線段樹給構造出來了肯定是不會用這個很費時間的方法了

同理從tree的根節點開始查詢然後開始往下查詢但是呢當你查詢到乙個區間在你所要求和的區間之內的話就可以直接返回tree這個區間的值而不用再往下查詢了

例如sum[0-4]=arr[0]+arr[1]+arr[2]+arr[3]+arr[4]=tree[0-2]+tree[3-4];

ll query
(ll l, ll r, ll l, ll r, ll nod)

點修改只能修改線段樹上的某個點。區間修改是很複雜的問題。

這裡就要引入一種「懶惰（lazy）」的做法。當修改的是乙個整塊區間時，只對這個線段區間進行整體上的修改，其內部每個元素的內容先不做修改，只有當這部分線段的一致性被破壞時才把變化值傳遞給子區間，那麼，每次區間修改的複雜度是o（log2 n），總複雜度是o(nlog2 n)。對於lazy操作的實現，需要對每次操作的子區間記錄狀態；

需要定義乙個lazy陣列儲存修改

因為這個lazy陣列很懶所以只有用到它時才會往下更新

void
pushdown
(ll nod, ll l, ll r)
}void
update
(ll l,ll r,ll val,ll l,ll r,ll nod)
else
}ll query
(ll l, ll r, ll l, ll r, ll nod)

但是要注意lazy陣列裡面儲存的是變化的值而tree是實際變化的所以當區間被修改的時候

區間的和(也就是線段樹的節點也要被修改)

與單點修改不同的是引入了lazy陣列記錄區間修改的值

當然這裡的修改只涉及到加減操作如果涉及到乘除的話(以後再補充吧?)

說了這麼多舉個例子看看吧

p3372 【模板】線段樹 1

其實這就是一道模板題

只要你熟悉了線段樹知道了lazy的使用直接碼就好了

注意資料的範圍有點大要用long long；

給個模板吧

#include
#include
#include
using
namespace std;
typedef
long
long ll;
const
int maxt =
100100
;ll h[maxt]
, tree[maxt *4]
, lazy[maxt *4]
;void
pushdown
(ll nod, ll l, ll r)
}void
build
(ll l, ll r, ll nod)
int mid =
(l + r)/2
;build
(l, mid, nod *2)
;build
(mid +
1, r, nod *2+
1); tree[nod]
= tree[nod *2]
+ tree[nod *2+
1];}
void
update1
(ll s, ll t, ll l, ll r, ll nod)
else
}void
update
(ll l,ll r,ll val,ll l,ll r,ll nod)
else
}ll query
(ll l, ll r, ll l, ll r, ll nod)
intmain()
else
}return0;
}

本人小白如有不正確的地方歡迎指正

//南昌理工acm集訓隊

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