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矩陣等價
定義：對同型矩陣a、b，存在可逆陣p和q，使得b=paq
充要條件：a和b的秩相等
兩個矩陣對應著兩個不同的線性變換，但是這兩個線性變換作用在同乙個向量上得到的結果是一樣的，則這兩個矩陣等價。
即兩個不同空間的同乙個線性變換之間是等價關係。（空間不同，基不同）
綜上所述，矩陣等價包含矩陣相似和矩陣合同。矩陣相似和矩陣合同有交集部分，這部分的矩陣既相似又合同。例如，對稱矩陣和由其特徵值組成的對角陣之間的關係（a=pbp^-1，a是對稱陣，b是a的特徵值組成的對角陣）就是既相似又合同的，實際上此時的p是正交陣，即p的轉置等於p的逆。
矩陣合同
定義：對同型方陣a、b，存在可逆陣p使得b=ptap
同一對向量在同乙個空間的不同座標系下的內積度量矩陣是合同關係
度量矩陣起到的作用應該是將乙個向量對映到另乙個向量上以進行內積運算，這個過程是乙個線性變換。兩個度量矩陣之間是等價的。
矩陣相似
比等價嚴苛
定義：對同型方陣a、b，存在可逆陣p，使得b=p^(-1)ap
同乙個空間的同乙個線性變換在不同座標系下對應的兩個矩陣是相似關係
三者關係：
等價（只有秩相同）–>合同（秩和正負慣性指數相同）–>相似（秩，正負慣性指數，特徵值均相同），矩陣親密關係的一步步深化。
相似矩陣必為等價矩陣，但等價矩陣未必為相似矩陣
pq=e 的等價矩陣是相似矩陣
合同矩陣必為等價矩陣，等價矩陣未必為合同矩陣
正慣性指數相同的等價矩陣是合同矩陣
合同矩陣未必是相似矩陣
相似矩陣未必合同
正交相似矩陣必為合同矩陣，正交合同矩陣必為相似矩陣
如果a與b都是n階實對稱矩陣，且有相同的特徵根．則a與b既相似又合同
實矩陣酉相似等價於正交相似
昨天群裡討論標題的問題 實矩陣酉相似是否等價於正交相似？我在這裡找到了答案。第一步是證明如下引理。a 和 b 正交相似，當且僅當 a 和 a mathsf 同時實相似到 b 和 b mathsf 這裡 mathsf 表示轉置。方便起見，用 表示轉置。一面是簡單地。另一面，假設 pap b pa p ...
合同相似可逆等價矩陣的關係及性質 行列式的性質問題
行列式的學習一方面要掌握計算行列式的一般方法 對性質要理解。考點與要求 了解 行列式的概念 方陣的乘積 行列式的性質 掌握 行列式的性質 會用 行列式的性質和行列式按行 列 展開定理計算行列式。行列式的計算 1 對於二階行列式，直接用對角線法 2 對於三階行列式，可以有對角線法 初學者可以用這個方法...
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