動態規劃 空間優化技巧以及接龍型動態規劃

如果狀態依賴關係只在相鄰的幾層之間，則可以使用滾動陣列進行優化

滾動陣列可以讓空間複雜度降維

dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + a[i][j]

滾動陣列優化之後為

dp[i % 2][j] = min(dp[(i - 1) % 2][j], dp[(i - 1) % 2][j - 1]) + a[i][j]

因為每一步只與他的前一步有關，所以前面的陣列我們可以重複使用，而不需要開闢新的空間。

隨著滾動陣列優化，我們需要改變的地方：

//原來的版本，詳情請看動態規劃入門：

public
intminimumtotal
(int
********)
if(********[0]
== null || ********[0]
.length ==0)
int n = ********.length;
int[
] f =
newint
[n][n]
;// initialize: 三角形的左邊和右邊要初始化
// 因為他們分別沒有左上角和右上角的點
f[0]
[0]= ********[0]
[0];
for(
int i =
1; i < n; i++
)// function: f[i][j] = math.min(f[i - 1][j], f[i - 1][j - 1]) + ********[i][j];
for(
int i =
1; i < n; i++)}
// answer: 最後一層的任意位置都可以是路徑的終點
int best = f[n -1]
[0];
for(
int i =
1; i < n; i++
)return best;
}//滾動陣列版本：
public
intminimumtotal
(int
********)
if(********[0]
== null || ********[0]
.length ==0)
int n = ********.length;
//空間負責度進行了降緯 n => 2
int[
] f =
newint[2
][n]
; 
f[0]
[0]= ********[0]
[0];
// 因為陣列空間不能夠直接初始化，我們需要在動態的過程中初始化
for(
int i =
1; i < n; i++)}
// answer: 最後一層的任意位置都可以是路徑的終點
int best = f[
(i -1)
%2][
0];for
(int i =
1; i < n; i++
)return best;
}

那麼能否兩個維度一起滾動呢?

dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - 1]) + a[i][j] =>

dp[i % 2][j % 2] = min(dp[(i - 1) % 2][j % 2], dp[(i - 1) % 2][(j - 1) % 2]) + a[i][j]

不可以，因為j不是全域性單調遞增的，所以他的資料需要被儲存，而 i 是全域性單調遞增的。

例項：斐波那契數列

class

solution
return dp[n%3];}}

屬於「座標型」動態規劃的一種 題型一般是告訴你乙個接龍規則，讓你找最長的龍

leetcode 300. 最長遞增子串行

給你乙個整數陣列 nums ，找到其中最長嚴格遞增子串行的長度。

子串行是由陣列派生而來的序列，刪除（或不刪除）陣列中的元素而不改變其餘元素的順序。例如，[3,6,2,7] 是陣列 [0,3,1,6,2,2,7] 的子串行。

例子1

:輸入：nums =[10
,9,2
,5,3
,7,101,18
]輸出：4
解釋：最長遞增子串行是 [2,
3,7,
101]，因此長度為 4 。

state: 

dp[i] 表示以第 i 個數為龍尾的最長的龍有多長 
function: 
dp[i]
= max
, j < i && nums[j]
< nums[i] 
initialization:
//每個位置都可以是龍頭 
dp[0.
.n-1]=
1answer:
max

倒推法記錄每個狀態的最優值是從哪個前繼狀態來的 通常需要乙個和狀態陣列同樣維度的陣列 prev[i] 記錄 使得 dp[i] 獲得最優值的那個 j 是誰 j 是方程 dp[i] = max 裡的j

最長上公升連續子串行 ii

描述：給定乙個整數矩陣. 找出矩陣中的最長連續上公升子串行, 返回它的長度. 最長連續上公升子串行可以從任意位置開始, 向上/下/左/右移動.

輸入:[[

1,2,
3,4,
5],[
16,17,
24,23,
6],[
15,18,
25,22,
7],[
14,19,
20,21,
8],[
13,12,
11,10,
9]]輸出:
25解釋:1-
>2-
>3-
>4-
>5-
>..
.->
25(由外向內螺旋)

描述：給出乙個由無重複的正整數組成的集合，找出其中最大的整除子集，子集中任意一對 (si，sj) 都要滿足：si % sj = 0 或 sj % si = 0。

如果有多個目標子集，返回其中任何乙個均可。

示例 1

:輸入:[1
,2,3
]輸出:[1
,2](當然,[1
,3] 也正確)

class

solution
arrays.
sort
(nums)
;int n = nums.length;
hashmap
dp =
newhashmap()
; hashmap
prev =
newhashmap()
;for
(int i =
0; i < n; i++
)int lastnum = nums[0]
;for
(int i =
0; i < n; i++)if
(dp.
get(num)
< dp.
get(factor)+1
)}if(dp.
get(num)
> dp.
get(lastnum))}
return
getpath
(prev, lastnum);}
private list
getpath
(hashmap
prev,
int lastnum)
collections.
reverse
(path)
;return path;
}private list
getfactors
(int num)
int factor =1;
while
(factor * factor <= num)
} factor++;}
return factors;
}}

動態規劃空間優化之滾動陣列

使用範圍 使用在遞推或動態規劃中 作用 節約空間 注意 時間上沒什麼優勢 舉例1 作用在一維陣列 普通方法 int d new int 100 d 0 1 d 1 1 for int i 2 i 100 i system.out.printf d d 99 上述方法使用100個空間 近似認為 注意，...

動態規劃 斜率優化

一 引用 一般dp 方程可以轉化成 dp i f j x i 的形式，其中 f j 中儲存了只與 j相關的量。這樣的 dp方程可以用單調佇列進行優化，從而使得 o n 2 的複雜度降到 o n 可是並不是所有的方程都可以轉化成上面的形式，舉個例子 dp i dp j x i x j x i x j ...

動態規劃優化方法

之前我們學習過動態規劃方法，但是並沒有對dp進行系統細緻的優化。今天來看一下dp的優化方法。做變換 等式就可以看作一條直線，每個j都確定出乙個點 x,y 對於當前要求解的i，其斜率已確定 且隨i單增 要使dp i 最大即要使這條直線過某乙個j形成的點並使得的截距最小。假設之前已處理完前9個點，將他們...