約瑟夫問題

約瑟夫問題，也叫約瑟夫環。

問題描述：n（編號從0到n-1）個人圍成乙個圈，從0號人開始數（從1開始數），數到第m個人，這個人淘汰。又從下乙個人開始，從1開始數，一直迴圈淘汰到只剩一人，這個人勝出。求這個人的編號。

解法一：模擬

這個問題很多人第一眼看到就覺得不是很簡單嗎，直接模擬就行啊。的確是，用一些列表型別的資料結構模擬一下就很容易做出來了。做法也因人而異。不過這方法只適用於人數和步數很小的時候，數量級一大就沒辦法了。模擬嘛，就是每m步去掉乙個，一共要去掉n-1個，所以時間複雜度是o(nm)。這裡我的方法不用傻乎乎的非要一步步的走，直接m步走，取餘，就能得到要刪除元素的下標。但是消耗時間還是沒解法二快，也許是列表刪除元素需要花費挺多時間，時間複雜度是o(n^2)。就算換成鍊錶，也是耗時間，因為需要找對應下標才能刪除，鍊錶找下標也要很久。python**如下。

# 模擬法
defjosephus1
(n:int
, m:
int)
->
int:
l =list
(range
(n))
idx =
0for i in
range
(n -1)
: idx =
(idx + m -1)
%len
(l) l.pop(idx)
return l[
0]

解法二：公式法其實約瑟夫問題是有規律的。

乙個人數為n，步數為m的約瑟夫環（定義為c(n, m)），走了m步去掉這個人（編號為m % n - 1）之後，又從下乙個人（編號為m）起，重新從0開始編號，這樣就變成了另乙個約瑟夫環c(n-1, m)。

然後一直走m步去掉乙個，約瑟夫環就變成c(n-2, m)，c(n-3, m)…c(1, m)。所以求c(n, m)，就變成了求c(n-1, m)…求c(1, m)，求乙個任務就等於求它的子任務。在這些不斷的縮小的約瑟夫環中，都存在乙個同樣的人，就是倖存者，該編號在不同的約瑟夫環中是不同的。

還有乙個規律，乙個約瑟夫環元素編號可以被下一級約瑟夫環元素編號推出來。比如上圖，我們把這一級的下標和下一級的下標進行對比。

3 — 0

4 — 1

5 — 2

…n-2 — n-5

n-1 — n-4

n — n-3

0 — n-2

1 — n-1

可以發現，兩個下標之間差了m=3步。子任務只要加上m（往左走）就等於原任務的下標了，嚴謹點還得取模。設原任務的下標為idx，子任務的下標為idx』，原任務的人數為n，則公式為：idx = ((idx』 + m) % n)。

通過這個公式就可以用子任務的下標推算出上一級任務的下標。而約瑟夫環c(1, m)中的倖存者明顯就是0，這個倖存者是一直存在於上級的每個子任務中的，編號也不同。所以通過這個公式就可以一直推到c(n, m)中倖存者的標號。

比如求c(10, 3)

c(1, 3) = 0

c(2, 3) = (c(1, 3) + 3) % 2 = 1

c(3, 3) = (c(2, 3) + 3) % 3 = 1

…c(10, 3) = (c(9, 3) + 3) % 3 = 3

python**如下：

# 公式法
defjosephus2
(n:int
, m:
int)
->
int:
idx =
0for i in
range(1
, n +1)
: idx =
(idx + m)
% i return idx
m =3
for i in
range(1
,11):
print
('c({}, {}) = {}'
.format
(i, m, josephus2(i, m)))
# c(1, 3) = 0
# c(2, 3) = 1
# c(3, 3) = 1
# c(4, 3) = 0
# c(5, 3) = 3
# c(6, 3) = 0
# c(7, 3) = 3
# c(8, 3) = 6
# c(9, 3) = 0
# c(10, 3) = 3

模擬圖如下：

約瑟夫問題

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