回溯法 N皇后與解數獨

但中間也在用零碎的時間學學別的，今天寫總結一下回溯法。

在最壞的情況下，回溯法會導致一次複雜度為指數時間的計算。

回溯法實際上是一種 dfs(深度優先搜尋演算法)的一種，不同的是，回溯法具備剪枝的能力，下面通過兩個例子來具體分析回溯演算法。

n 皇后問題是基於八皇后問題的進一步發展，如何能夠在 n * n 大小的西洋棋棋盤上擺放 n 個皇后，使得任何乙個皇后都無法直接吃掉其他的皇后？為了達到此目的，任兩個皇后都不能處於同一條橫行、縱行或斜線上。下圖為八皇后問題的其中乙個解。

下面來分析下這個問題。

棋盤上每個位置包含兩種狀態：有皇后以及沒有皇后。在不考慮約束條件的情況下，列出所有組合，我們將得到乙個深度為 n * n 的二叉樹。

上圖描述了棋盤前兩個位置的可能性。

最簡單的辦法是窮舉出所有可能性，然後篩選出符合的解。可以通過 dfs 演算法遍歷這個二叉樹，對於 n * n 的棋盤將有 2 的 n * n 次方種可能，這顯然是不可接受的。

但我們可以通過規則來進行剪枝，可以使用的規則如下：

通過上述四個條件，我們可以減掉大部分的路徑。

現在回到回溯法上來看這道題，回溯法使用試錯的思想，分步解決問題，我們可以先假設第乙個位置放置皇后，然後根據規則，找到第二個合法的位置再放置第二個皇后，如果找不到合適的位置則表示該路徑錯誤，回溯到上乙個位置繼續。

回溯法特徵之一就是會使用陣列或其他資料結構儲存遍歷資訊，從而跳過不合法的路徑。

本題使用三個陣列分別儲存列、左上至右下斜邊、右上至坐下斜邊的皇后擺放資料。

因為每行只能擺放乙個皇后，所以我們按行遍歷，嘗試在當前行每乙個位置放置皇后。然後跳到下一行繼續。

下面直接放上**：

public list
>
solvenqueens
(int n)
private
void
backtrace
(int n,
int row,
boolean
column,
boolean
rl,boolean
lr,int[
] board, list
> result)
boardlist.
add(rowbuilder.
tostring()
);} result.
add(boardlist);}
//for
(int columnindex =
0; columnindex < n; columnindex++)}
}

數獨遊戲就是我們常見的那個解數獨的遊戲。

思路跟 n 皇后一樣，遍歷所有空格，逐個將 1-9 陣列放置空格內，通過規則判斷是否合法，最終找到解。

這裡同樣需要定義三個陣列用於存放遍歷資料：每行、每列、每 3x3 宮格內的資料。

另外，如果 sn 表示第 n 個 3x3 宮格，那麼 sn = (row / 3) * 3 + column / 3；

public
void
solvesudoku
(char
board)
if(columnrecord[column]
== null)
int boxindex =
(row /3)
*3+ column /3;
if(boxrecord[boxindex]
== null)
if(c !=
'.')}}
backtrack
(board,0,
0, rowrecord, columnrecord, boxrecord);}
private
boolean
backtrack
(char
board,
int row,
int column,
list
rowrecord,
list
columnrecord,
list
boxrecord)
int nextrow = column <
8? row : row +1;
int nextcolumn = column <
8? column +1:
0;int boxindex =
(row /3)
*3+ column /3;
character currentchar = board[row]
[column];if
(currentchar ==
'.')
else}}
}else
return
false
;}

上面的**我放在 github 上了，裡面還有很多其他資料結構與演算法相關的**，需要的可以看看：

回溯法 N皇后與解數獨

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N 皇后問題回溯法

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回溯法解數獨

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N 皇后問題 回溯法

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