數字dp入門

數字dp是一種計數用的dp，一般就是要統計乙個區間[le,ri]內滿足一些條件數的個數。所謂數字dp，字面意思就是在數字上進行dp咯。數字還算是比較好聽的名字，數字的含義：乙個數有個位、十位、百位、千位…數的每一位就是數字啦！

之所以要引入數字的概念完全就是為了dp。數字dp的實質就是換一種暴力列舉的方式，使得新的列舉方式滿足dp的性質，然後記憶化就可以了。

兩種不同的列舉：對於乙個求區間[le,ri]滿足條件數的個數，最簡單的暴力如下：

for
(int i=le;i<=ri;i++)if
(right
(i)) ans++
;

然而這樣列舉不方便記憶化，或者說根本無狀態可言。

新的列舉：控制上界列舉，從最高位開始往下列舉，例如：ri=213，那麼我們從百位開始列舉：百位可能的情況有0,1,2(覺得這裡列舉0有問題的繼續看)

然後每一位列舉都不能讓列舉的這個數超過上界213（下界就是0或者1，這個次要），當百位列舉了1，那麼十位列舉就是從0到9，因為百位1已經比上界2小了，後面數字列舉什麼都不可能超過上界。所以問題就在於：當高位列舉剛好達到上界是，那麼緊接著的一位列舉就有上界限制了。具體的這裡如果百位列舉了2，那麼十位的列舉情況就是0到1，如果前兩位列舉了21，最後一位之是0到3(這一點正好對於**模板裡的乙個變數limit 專門用來判斷列舉範圍)。最後乙個問題：最高位列舉0：百位列舉0，相當於此時我列舉的這個數最多是兩位數，如果十位繼續列舉0，那麼我列舉的就是以為數咯，因為我們要列舉的是小於等於ri的所以數，當然不能少了位數比ri小的咯！ (這樣列舉是為了無遺漏的列舉，不過可能會帶來乙個問題，就是前導零的問題，模板裡用lead變數表示，不過這個不是每個題目都是會有影響的，可能前導零不會影響我們計數，具體要看題目)

由於這種新的列舉只控制了上界所以我們的main函式總是這樣：

nt main()

統計[1,ri]數量和[1,le-1]，然後相減就是區間[le,ri]的數量了，這裡我寫的下界是1，其實0也行，反正相減後就沒了，注意題目中le的範圍都是大於等於1的(不然le=0,再減一就gg了)

在講例題之前先講個基本的動態模板(先看後面的例題也行)：dp思想，列舉到當前位置pos，狀態為state(這個就是根據題目來的，可能很多，畢竟dp千變萬化)的數量(既然是計數,dp值顯然是儲存滿足條件數的個數)

typedef
long
long ll;
int a[20]
; ll dp[20]
[state]
;//不同題目狀態不同 
ll dfs
(int pos,
/*state變數*/
,bool lead/*前導零*/
,bool limit/*數字上界變數*/
)//不是每個題都要判斷前導零 
//計算完，記錄狀態 if(
!limit &&
!lead) dp[pos]
[state]
=ans;
/*這裡對應上面的記憶化，在一定條件下時記錄，保證一致性，當然如果約束條件不需要考慮lead，這裡就是lead就完全不用考慮了*/
return ans;
} ll solve
(ll x)
return
dfs(pos-
1/*從最高位開始列舉*/
,/*一系列狀態 */
,true
,true);
//剛開始最高位都是有限制並且有前導零的，顯然比最高位還要高的一位視為0嘛 
}int
main()
}

下面是一道模板題

【hdu2089】不要六二

#include
#include
using
namespace std;
typedef
long
long ll;
ll a[20]
;ll dp[20]
[2];
ll dfs
(ll pos,ll pre,ll state,
bool limit)
//若state為1說明前一位為6if(
!limit)dp[pos]
[state]
=ans;
//儲存
return ans;
}ll solve
(ll x)
//執行完後ans會多+1
return
dfs(pos-1,
0,0,
true);
//從高位開始dp，第一位數字只能取到a[pos]所以limit置為true
}int
main()
return0;
}

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