座標系的變換分兩類：一類是座標系中，點的位置不變，變的只是座標的值，或者說改變的只是同乙個點在不同系下的描述；二類是點的座標值不改變，點的位置發生改變適應新的座標系,或者說相同的座標值在不同的座標系中有不同的幾何解釋，從而得到不同的位置。
我們討論的是前一種情況。
一）基底：
座標系最根本的是基底，點p的座標是(1,2,3)是什麼意義？
可能說：表示的是p在直角座標系中，在x軸上的投影為1，在y軸上的投影為2，在z軸上的投影為3。
對嗎？未必。
首先，我們討論的未必是直角座標系；
其次，所謂投影，一般是指作垂直的直線，這只有在直角座標系中才是這樣，在非直角座標系中，作垂直是沒有意義的，應該是「平行」。確定x軸上的分量要作與yoz平面平行的平面與x軸相交；
第三，在x軸上的分量未必為1，這只有在空間直角座標系中當向量op=i+2j+3k時才是這樣。
當向量op=i+2j+3k時，我們就叫點p的座標為(1,2,3)，這裡的三個單位向量i，j，k就叫這個座標系的基底。
但是要注意，座標系的基底未必是向量i，j，k。
例：設有三個向量a,b,c，這三個向量未必是單位向量，也未必垂直，只是非常普通的三個向量，只要這三個向量非零且不共面，就可以作為基底，此時若向量op=a+2b+3c 則稱點p在以a,b,c為基底的系下的座標為(1,2,3)。
二）變換：
以向量i，j，k作為基底的座標系（稱原係）裡乙個點p（x1,y1,z1），即op=x1*i+y1*j+z1*k。
設向量a=（xa,ya,za)，即a=xa*i+ya*j+za*k；
向量b=（xb,yb,zb)，即b=xb*i+yb*j+zb*k；
向量c=（xc ,yc,zc)，即c=xc*i+yc*j+zc*k；
現以a,b,c為基底建立新系，則點p在新系下的座標為多少？
設在新系下的座標為（x2,y2,z2),則
向量op=x2*a+y2*b+z2*c
= x2*（xa*i+ya*j+za*k）+y2*（xb*i+yb*j+zb*k）+z2*（xc*i+yc*j+zc*k）
=(x2*xa+y2*xb+z2*xc)*i+(x2*ya+y2*yb+z2*yc)*j+(x2*za+y2*zb+z2*zc)*k
又op=x1*i+y1*j+z1*k,
所以x2*xa+y2*xb+z2*xc=x1
x2*ya+y2*yb+z2*yc=y1
x2*za+y2*zb+z2*zc=z1
寫成矩陣形式
顯然
同乙個點位置不變，在新舊座標系中有新舊兩個座標，這就是新舊兩座標的關係。
請再次回顧，並作觀察，新座標系的基底在原座標系中的座標為
向量a=（xa,ya,za)；
向量b=（xb,yb,zb)；
向量c=（xc ,yc,zc）。
三）應用：
在polt3d中，在計算計算隱藏線面時，在乙個x軸垂直電腦螢幕的座標系（以向量i，j，k為基底，稱game系）中計算，但在表現出來，即給使用者的感覺時，卻用的是斜二側畫法使用的座標系。
斜二測畫法的座標系(稱math系)基底為
向量a=
(1,-0.35355334,-0.35355334)
向量b=（0,1,0)；
向量c=（0,0,1）。
在計算旋轉時，也要先放到math系，gametomath(p)，再作旋**rotate(p)，最後又回到game系：mathtogame(p)。
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