復變函式2

復變函式2

目錄奇點和零點

奇點：函式不解析的點，\(f(z)\)展開式\((z-z_0)\)負冪項個數；

在\(z_0\)中

個數可去奇點

0m級極點 eg:\((z-z_0)^m\)

m本性奇點

\(\infin\)

零點：函式等於零的點。

\[m級零點：\left\

f^(z_0)\ne0&\\

f^(z_0)=0&，n

此時，\(z_0\)是\(\frac1\)的m級極點；

若\(z_0\)是\(f(z)\)的m級零點，\(g(z)\)的n級零點，則\(z_0\)是\(\frac\)的 m-n 級極點；

若函式\(f(z),g(z)\)分別是以\(z=a\)為 m、n級極點，則：

設\(f(z)=\frac,f_1(a)\ne0\)，同理\(g(z)\);

\[f(z)g(z)=\frac}

\]\(a\)為 m+n 級極點。

若\(f(z)=\sum_^c_n(z-z_0)^n\)，則 res[\(f(z)，z_0\)]=\(c_\)；

\[res\left[\frac}，0\right]\\

=res\left[\frac(\cdots+z-\frac+\frac+\cdots)，0\right]\\

=res\left[(\cdots+\frac1z-\frac+\frac+\cdots)，0\right]=1

\]求留數的規則（ i ） 一級極點：

res[\(f(z),z_0\)]=\(\lim_(z-z_0)f(z)\).

求留數的規則（ ii ） m級極點:

res[\(f(z),z_0\)]=\(\frac\lim_\frac}}\\).

求留數的規則（ * ）:

\[\oint_cf(z)dz=2\pi i\sum_^nres[f(z),z_k]

\]

利用留數計算積分：\(\oint_\fracdz\).（\(在|z|=2內有兩個極點：0，1；\))

res[f(z),0]= -2 ，res[f(z),1]= 2;

\[j=2\pi i\sum_^nres[f(z),z_k]=2\pi i(-2+2)=0

\]

若\(f(z)=\frac\)，\(z_0\) 是 \(q(z)\) 的一級零點，則：

res[ f(z) , \(z_0\) ] = \(\frac\);

求留數的規則（ iv ）:

\[res[f(z),\infin]=-res[f(\frac1z)\cdot\frac1,0]

\]求留數的規則（ ** ）:

\[\sum_^nres[f(z),z_k]=0

\]

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