復變函式 1 輻角原理

這篇關於輻角原理的小文章節選自2023年秋學期數理方法i課程的小**，節選部分簡略介紹了這個有趣的定理，主要參考資料為中科大龔公升老師的《簡明復分析》。我用這個節選片段來測試一下發布新隨筆的功能。

輻角原理是復變函式論中有關留數理論的乙個定理，由它可以得到關於線性控制的nyquist穩定判據。

定理（輻角原理）設 $f(z)$ 是域 $u$ 上的亞純函式[1]

， $\gamma \subset u$ 為一條正定向簡單閉曲線，且在$u$中可以連續地縮成乙個點，

已知 $f(z)$ 在 $\gamma$ 內有有限個零點，零點的個數記為 $n(f,\gamma)$（ $k$ 階零點算作 $k$ 個零點），且 $f(z)$ 在 $\gamma$ 內有有限個極點，極點的個數記為 $p(f,\gamma)$（ $k$ 階極點算作 $k$ 個極點）。

令復變函式 $f(z)$ 的宗量 $z$ 沿 $\gamma$ 正定向[2]

繞行一圈，將 $w=f(z)$ 的輻角變化記為 $\delta_\gamma( arg(w))$ ，則有：

\[n(f,\gamma)-p(f,\gamma)=\dfrac\delta_\gamma( arg(w))=w 繞零點逆時針轉動的圈數

\]這個定理被稱為輻角原理。

證明設 $f(z)$ 在 $\gamma$ 內有階數各為 $n_k$ 的零點 $z_k$（ $k=1,2,\cdot \cdot \cdot,n$ ），階數各為 $p_j$ 的極點 $u_j$（ $ j=1,2,\cdot \cdot \cdot,p$ )，以每個零點為圓心，作圓 $\gamma_k$ （ $k=1,2,\cdot \cdot \cdot,n$ ），使得 $\gamma_k$ 都在 $\gamma$ 內部，但互不相交；又以每個極點為圓心，作圓 $c_j$ （ $j=1,2,\cdot \cdot \cdot,p$ ），使得 $c_j$ 都在 $\gamma$ 內部，但互不相交。於是，由 cauchy 積分公式得

\[\dfrac\int_\dfrac = \dfrac\int_\dfrac

\]由於 $f(z)$ 在 $z=z_k$ 處為 $n_k$ 階零點，於是在 $\gamma_k$ 中，$f(z)$ 可以寫為

\[f(z) = (z-z_k)^h_k(z)

\]其中， $h_k(z)$ 不恒為零。於是

\[\dfrac=\dfrac+\dfrac

\]這就得到

\[\dfrac\int_\dfracdz=n_k

\]又由於 $f(z)$ 在 $z=u_j$ 處為 $p_j $ 階零點，於是在 $c_j$ 中，$f(z)$ 可以寫為

\[f(z) = (z-u_j)^g_j(z)

\]其中， $h_k(z)$ 不恒為零。於是

\[\dfrac=-\dfrac+\dfrac

\]這就得到

\[\dfrac\int_\dfracdz=-p_j\]故

\[\dfrac\int_\dfrac=\sum^n_ n_k-\sum^p_p_j=n-p

\] 記 $w=f(z)$ ，又記 $z=z(t)$ （$t\in [a,b]$）是$\gamma$ 的與定向相符的引數表示，$w(t)=f(z)$，則有

\[n(f,\gamma)-p(f,\gamma)=\frac\int_ \fracdz=\frac\int_ \frac

\]這裡， $\gamma$ 為 $\gamma$ 在$w=f(z)$對映下的像， $\displaystyle\int_\gamma \frac =\int_^ \frac$

設 $w=ae^$ ，代入上式，得

\[\begin

n(f,\gamma)-p(f,\gamma)&=\dfrac\int_ \dfrac\\

&=\dfrac[ln\dfrac+i(\phi_2-\phi_1)]\\

&=\dfrac(\phi_2-\phi_1)\\

&=\frac\delta_\gamma (arg (w))

\end

\]其中 $\delta_\gamma( arg(w))$ 表示當 $z$ 沿著 $\gamma$ 上正向繞行一圈時， $w$ 在 $\gamma$ 上的輻角變化。這說明當 $z$ 沿著 $\gamma$ 的正方向轉動一圈時，$w = f(z)$ 在 $\gamma$ 上沿正方向繞原點轉動的總圈數，恰好等於 $f$ 在 $\gamma$ 內的零點個數 $n$ 與極點個數 $p$ 之差。證畢。

亞純函式，即乙個在域 $u\subseteq c$ 上有定義，並在除乙個或若干個孤立點集合之外的區域處處解析的函式，這些孤立點稱為極點。 ↩︎

正定向指前進時點集在左側的前進方向，此處正定向實為逆時針方向。 ↩︎

復變函式 1 輻角原理

復變函式1

復變函式2

復變函式系列（三）復變函式的積分

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復變函式1

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復變函式系列（三 ） 復變函式的積分

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