復變函式1

復變函式的導數：

\[f'(z_0)=\lim_\frac

\]\[\begin

\frac}}=\frac}}\\

\frac}}=-\frac}}

\end\\

f'(z)=\frac}}+i\frac}}\\\ \ \ \ \ \ \ \ =\frac}}-i\frac}}

\]解析區域：

\(f(z)=u+iv\)在區域\(\mathcal\)內解析 = \(u,v\)在區域\(\mathcal\)內可導且滿足cr方程= \(f(z)\)在區域內處處可導。

帶入cr方程，

求出解析區域。（若可導區域是一條直線或點，則不可解析）。

調和函式：

調和函式：\(\frac}}+\frac}}=0\);

解析函式\(f(z)=u+iv\)滿足：

\[\frac}}+\frac}}=0\\

\frac}}+\frac}}=0

\]\(f(z)\)的虛部\(v\)稱為實部\(u\)的共軛調和函式；

\[\lim=1\\\lim=e^\\

\lim_\alpha_n=1+ie^

\]

\[\int_0^1z\sindz=-\cosz|_0^1+\int_0^1coszdz=\sin1-\cos1

\]分別沿\(y=x,y=x^2\)，計算基分\(\int_0^(x^2+iy)dz\);

\[\int_0^(x^2+iy)d(x+iy)\\=\int_0^(t^2+it)dt(1+i)=-\frac16+\frac56i

\]後者同理；

設\(c:\\)，則：\(\oint_\frac}dz=\_0\_\)？

若\(f(z)\)在c 圍成的區域內解析，則\(\oint_f(z)dz=0\)。

\[\cos=0\ 時，z=\frac\pi2+k\pi\notin\

\]因此，處處解析。

\(\oint_\fracdz，c：\\)=\(2\pi i\)

\(f(z)\)在曲線c的內部解析，\(z_0\)在c的內部：

\[f(z_0)=\frac1\oint_c\fracdz

\]所以，由於\(e^z=f(z)\)在c內部解析，則：

\[2\pi i\cdot e^0=\oint_\fracdz=\oint_\fracdz

\]

設\(c_1,c_2\)分別是以\(z=0,z=i\)為圓心的兩個小圓域；

\[j=\oint_\frac}dz+\oint_\frac}dz\\

=2\pi i\cdot\frac|_+2\pi i\cdot\frac|_\\

=2\pi i

\]

\(f(z)\)在取線c 內部解析，\(z_0\)在c 內部

\[f^(z_0)=\frac\oint_c\frac}dz

\]一般用來求積分：

\[\frac\cdot f^(z_0)=\oint_c\frac}dz

\]

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