Hamilton迴路的判定與構造

定理1：在乙個具有n個頂點的無向連通圖g中，如果任意兩個頂點的度數之和大於n，則g具有hamilton迴路。此條件為充分條件

定理2：設圖g = ，是hamilton圖，則對於v的任意乙個非空子集s，若以|s|表示s中元素數目，g-s表示g中刪除了s中的點以及與這些點關聯的邊後得到的子圖，則滿足g-s的連通分支數w(g-s)<=|s|。此條件為必要條件。

構造hamilton迴路的演算法過程，分成以下幾個步驟：

1. 任意找兩個相鄰的節點 s 和 t，在它們基礎上擴充套件出一條盡量長的沒有重複節點的路徑。也就是說，如果 s 與節點 v 相鄰，而且 v 不在路徑 s → t 上，則可以把該路徑變成 v → s → t，然後 v 成為新的 s。從 s 和 t 分別向兩頭擴充套件，直到無法擴為止，即所有與 s 或 t 相鄰的節點都在路徑 s → t 上。

2. 若 s 與 t 相鄰，則路徑 s → t 形成了乙個迴路。

3. 若 s 與 t 不相鄰，可以構造出乙個迴路。設路徑 s → t 上有 k + 2 個節點，依次為 s、 v1、 v2…… vk 和 t。可以證明存在節點 vi， i ∈ [1, k)，滿足 vi 與 t 相鄰，且 vi+1 與 s 相鄰。證明方法也是根據鴿巢原理，既然與 s 和 t 相鄰的點都在該路徑上，它們分布的範圍只有 v1 ∼ vk 這 k 個點， k ≤ n - 2，而 d(s) + d(t) ≥ n，那麼可以想像，肯定存在乙個與 s 相鄰的點 vi 和乙個與 t 相鄰的點 vj，滿足 j < i。那麼上面的命題也就顯然成立了。

找到了滿足條件的節點 vi 以後，就可以把原路徑變成 s → vi+1 → t → vi → s，即形成了乙個迴路。

4. 現在我們有了乙個沒有重複節點的迴路。如果它的長度為 n，則漢密爾頓迴路就找到了。

如果迴路的長度小於 n，由於整個圖是連通的，所以在該回路上，一定存在一點與迴路以外的點相鄰。那麼從該點處把迴路斷開，就變回了一條路徑。再按照步驟 1 的方法盡量擴充套件路徑，則一定有新的節點被加進來。接著回到步驟 2。

模板題：poj 2438 or hdu 4337 childrens dining

問題是求小朋友圍著桌子的座次就是求原圖中的乙個環，但是要求這個環不能包含所給出的每條邊，所以沒給出的邊卻是可以使用的，也就是說本題實際上是在原圖的反圖上求乙個環，即在每兩個可以坐在相鄰位置的小朋友連一條邊，否則不連。使得該環包含所有頂點，即hamilton迴路。

由於有2n個小朋友，且每個小朋友的敵人最多n-1個，所以，每個小朋友可以一起與座的小朋友最少有n+1個，即度數》=n+1，所以任意兩個小朋友度數之和d(u)+d(v)>=2n+2 > 2n，所以hamilton迴路存在。

**：

#include #include 
#include 
#include 
#include 
using
namespace
std;
#define n 407
intvis[n],mp[n][n],ans[n];
intn,m;
void
init()
}memset(ans,
0,sizeof
(ans));
}void reverse(int ans[n],int s,int t) //
將ans陣列中s到t的部分倒置
}void
hamilton()
t = i; //
取任意連線s的點為t
vis[s] = vis[t] = 1
; ans[
0] =s;
ans[
1] =t;
while(1
) 
}if(i >n)
break
; }
//將當前得到的序列倒置，s和t互換，從t繼續擴充套件，相當於在原來的序列上從s擴充套件
w = k - 1
; i = 0
; reverse(ans,i,w);
swap(s,t);
//從新的t向外擴充套件，相當於在原來的序列上從s向外擴充套件 
while(1
) 
}if(i >n)
break
; }
if(!mp[s][t]) //
如果s和t不相鄰，進行調整
//將從ans[i+1]到t部分的ans倒置
w = k - 1
; i++;
t =ans[i];
reverse(ans,i,w);
}//如果當前s和t相連
if(k == n) //
如果當前序列中包含n個元素，演算法結束
return
; 
//當前序列中的元素個數小於n，尋找點ans[i]，使得ans[i]與ans外一點相連 
for(j=1;j<=n;j++)
s = ans[i-1
]; t =j;
reverse(ans,
0,i-1); //
將ans中s到ans[i-1]部分的ans倒置
reverse(ans,i,k-1); //
將ans中ans[i]到t的部分倒置
ans[k++] = j; //
將點j加入到ans的尾部
vis[j] = 1
; }
}int
main()
hamilton();
printf("%d
",ans[0
]); 
for(i=1;i)
printf("%d
",ans[i]);
printf("\n
");}
return0;
}

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