今天，我們來聊聊拓撲排序。
拓撲排序，這個顧名思義似乎有點難。那就直接上定義吧：
啥意思呢。比如這樣乙個dag：
幾種可能的拓撲序是：
也就是說，dag的拓撲序可能並不唯一。
那麼，1 3 2 4 5 6 7是不是這張圖的拓撲序呢？答案是否定的，因為圖中存在 \(2 \rightarrow 3\) 這條邊，那麼2必須出現在3的前面，但是這裡2卻出現在3的後面，因此不是拓撲序。
現在，你對拓撲排序的理解一定加深了一些。那麼接下來讓我們思考乙個問題，拓撲排序為什麼一定要在dag上？不在dag上難道不行嗎？
首先，dag是有向無環圖的意思，我們從有向和無環兩個方面分別做反義詞，也就是無向，有環。
接下來我們證明為什麼這兩種情況不能出現。
假設存在有無向邊的有 \(n\) 個點的圖 \(g\) 的拓撲序 \(a\)，那麼一定存在兩個數 \(i, j (1 \le i, j \le n)\)，滿足 \(a_i \rightarrow a_j \in g, a_j \rightarrow a_i \in g\)。根據拓撲序的定義，就有 \(i < j\) 且 \(i > j\)，顯然不存在 \(i, j\) 滿足此邏輯關係，即有無向邊的圖無拓撲序。
假設存在有環的有 \(n\) 個點的圖 \(g\) 的拓撲序 \(a\)，那麼一定存在 \(k(1 < k \le n), p(1 \le p \le n - k)\) 使得 \(a_ \rightarrow a_, a_ \rightarrow a_, a_ \rightarrow a_, \ldots, a_ \rightarrow a_, a_ \rightarrow a_ \in g\)。根據拓撲序的定義，就有 \(p + k < p + 1\)，但 \(k > 1\)，因此 \(p + k < p + 1\) 不可被滿足，即有環圖無拓撲序。
其實，無向邊可以看做包含兩個點的環，所以他們的證明很相似。
至此證畢。
眾所周知，dfs可以解決任何乙個不帶時限的題目（
那麼我們就來想下怎麼用dfs實現拓撲排序吧。
接下來是dfs函式處理步驟：
核心**如下：
int flag[maxn];
std :: vector topo;
std :: vector g[maxn];
int n, m;
bool dfs(int u)
}flag[u] = 1;
topo.push_back(u);
return true;
}bool toposort()
}std :: reverse(topo.begin(), topo.end());
return true;
}
演算法流程如下:
也就是說，kahn演算法的核心就是維護乙個入度為0的頂點。
核心**如下：
int ind[maxn];
bool toposort()
while (!q.empty())
}if (topo.size() == n) return true;
return false;
}
另外，如果要求字典序最小或最大的拓撲序，只需要將kahn演算法中的q佇列替換為優先佇列即可，總時間複雜度為 \(\operatorname(e+v\log v)\)。
說了這麼半天，拓撲排序有什麼用途嗎？
處理依賴性任務規劃問題的模板是uva10305，可以做做看。
本篇文章至此結束。
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