最小表示法模板

最小表示法就是對於乙個迴圈字串，其字典序最小的狀態；

顯然任意乙個迴圈串的最小表示法是唯一的，那麼可以同過比較兩個迴圈串的最小表示法來判斷它們是否相同；

對於樸素演算法：

初始化：i = 0, j = 1, k = 0;

若 s[i] < s[j]，j++；

若 s[i] > s[j]，i = j, j++；

若 s[i] == s[j]，則 k++，直至 s[i + k] != s[j + k]

對於 s[i + k] < s[j + k]，j++；

否則 i = j, j++；

返回 min(i, j)；

時間複雜度 o(n^2)，其中 n 為字串 s 的長度；

**：

1
int get_min(string
s)12
if(s[i + k] < s[j + k]) j++;
13else i = j++;14}
15}16return i < j ?i : j;
17 }

view code

優化：s[i + k] != s[j + k]時：

對於 s[i + k] > s[j + k]，可直接令 i += k + 1；

關於其正確性證明：

i += k + 1 可行，只需證明 1) 以 i ~ i + k 中字元為頭首字元的串不可能字典序最小；

證明 1) ，只需證明 2) 對於以 i ~ i + k 開頭，以 i + k 結尾的字尾，一定存在等長的子串字典序比其小；

證明 2)：任取 i <= i' <= i + k，構造子串 s[i', i + k]，len = i + k - i' + 1；取與其等長子串 s[j + k - len + 1 , j + k]；

顯然有：s[i', i + k - 1] = s[j + k - len + 1, j + k - 1] && s[i + k] > s[j + k]，所以 s[i', i + k] > s[j + k - len + 1, j + k]；

所以結論 2) 得證，即結論 1) 得證；

對於 s[i + k] < s[j + k]，可令 j += k + 1 ；

其正確性證明與上面類似：

j += j + 1 可行，只需證明 1) 以 j ~ j + k 中字元為頭首字元的串不可能字典序最小；

證明 1) ，只需證明 2) 對於以 j ~ j + k 開頭，以 j + k 結尾的字尾，一定存在等長的子串字典序比其小；

證明 2)：任取 j <= j' <= j + k，構造子串 s[j', j + k]，len = j + k - j' + 1；取與其等長子串 s[i + k - len + 1 , i + k]；

顯然有：s[j', j + k - 1] = s[i + k - len + 1, i + k - 1] && s[j + k] > s[i + k]，所以 s[j', j + k] > s[i + k - len + 1, i + k]；

所以結論 2) 得證，即結論 1) 得證；

注意：若出現 i == j 的情況，則將 j 往後移一位；

時間複雜度 o(n)，其中 n 為字串 s 的長度；

**：

1
void get_min(int n, int m)12}
13 a[n][m] = i < j ?i : j;
14 }

view code

最小表示法 模板