一道面試題的分析

在萬倉一黍的部落格中看到了「一道有趣的面試題」這篇文章，文中給出了一種解法，仔細想了一下，發現也可以在常數時間複雜度下解決。

題目：

某幢大樓有100層。你手裡有兩顆一模一樣的玻璃珠。當你拿著玻璃珠在某一層往下扔的時候，一定會有兩個結果，玻璃珠碎了或者沒碎。這幢大樓有個臨界樓層。低於它的樓層，往下扔玻璃珠，玻璃珠不會碎，等於或高於它的樓層，扔下玻璃珠，玻璃珠一定會碎。玻璃珠碎了就不能再扔。現在讓你設計一種方式，使得在該方式下，最壞的情況扔的次數比其他任何方式最壞的次數都少。也就是設計一種最有效的方式。

例如：有這樣一種方式，第一次選擇在60層扔，若碎了，說明臨界點在60層及以下樓層，這時只有一顆珠子，剩下的只能是從第一層，一層一層往上實驗，最壞的情況，要實驗59次，加上之前的第一次，一共60次。若沒碎，則只要從61層往上試即可，最多只要試40次，加上之前一共需41次。兩種情況取最多的那種。故這種方式最壞的情況要試60次。

解：原題是，已知大樓的高度，求最少的實驗次數。現在為了便於計算，先把題目反過來考慮：

還是上面的實驗，已知進行實驗k次可以得到了臨界樓層，求這個樓的最大高度h。

開始實驗：

第1步：任取乙個樓層h1 （1 =< h1 <= h），用第一顆珠進行實驗，如果珠碎，則用低二顆珠從第一層向上逐層進行實驗，在最壞情況下，實驗次數為k1=h1 ，即可得到結果。否則，如果第乙個珠碎了，並且 h1!= h 則令 i=2 進行第二步實驗。

第2步：任取乙個樓層hi (hi-1即：

ki = h1 (i=1) （等式 1.1）

ki = (i – 1) + hi - hi-1 （1ki = (n – 1) + h - hn-1 (i=n) （等式 1.3）

將上面的等式按 i=1,2,3…n 相加可得：

k1 + k2 + k3 + … + kn=1 + 2 + 3 + … + (n-1) + h =n*(n-1)/2 + h

即： h = (k1 + k2 + k3 + … + kn) - n*(n-1)/2

因為 k = max(k1, k2, k3, … , kn) 是已知的, 所以當k1 = k2 = k3 = … = kn = k 是 h 取得最大值

所以：

h = n *k - n*(n-1)/2 　　(等式 1.4)

等式1.3 可以寫成 k = (n – 1) + hn - hn-1 可得

hn - hn-1 = k + 1 – n > 0

即 n所以 n的取直範圍是 1=< n <=k

等式1.4 是關於n的二次函式，當n = k 時等式1.4取得最大值，最大值是：

h = k（k+1）/2 　　（等式 1.5）

這就求出了 k 次實驗能確定臨界層的最大樓層高度。

下面在把題目正過來，考慮原題：

由等式1.5 ， k-1次實驗能確定臨界層的最大樓層高度為h』=k (k-1) /2

則，如果樓層的高度 x 在區間（h』 , h] 範圍內，則最多進行k次實驗即可的到臨界層。

即

k(k-1)/2 < x <= k(k+1)/2 　　　　(不等式 1.6)

將不等式 1.6 各項 × 2 得：

k(k-1) < 2*x <= k(k+1) 　　　　　　(不等式 1.7)

而

(k-1)^2 < k(k-1) < k^2 < k(k+1) <(k+1)^2

即，不等式 1.7 所確定的個區間中有且僅有1個完全平方數，則找出與2*x 近似的完全平方數k^2 , 那麼k就是最終的結果。

計算的時候分別算出

k1 = floor( sqrt (2*x))

k2 = ceil(sqrt (2*x))

分別將 k1, k2 帶入不等式 1.6 ，可得到兩個區間，如果x在第乙個區間中則結果是k1，否則是k2 .

/*c語言原始碼*************************************/
#include#includeint fun (int x)
int main()

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一道面試題

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