洛谷P3978 TJOI2015 概率論

傳送門

rqy太強啦

數學太差限制了我的想象力……我連卡特蘭數是什麼都不知道……姿勢不夠……

令$f_i$表示有$i$個節點的二叉樹的總個數，$g_i$表示$i$個節點的所有二叉樹的葉子總數，那麼答案就是$\frac$

不難發現$f_n$的遞推式如下$$f_n=\sum_^f_if_$$

就是列舉左子樹里有幾個點，那麼右子樹的點的個數就是總點數減去根減去左子樹

於是就可以快速計算$f_n$了。現在考慮怎麼計算$g_n$

~~看了rqy的表後~~不難發現$g_n=n\times f_$。考慮如何證明

設一棵樹有$n$個節點，其中有$k$個葉節點，那麼去掉每乙個節點都能得到一棵$n-1$個節點的樹，總共能得到$k$棵

然後考慮對於每乙個$n-1$個節點的樹，有$n$個位置可以掛葉子（每個節點提供兩個掛葉子的位置，有$n-2$地方已經被佔了，剩下的就只有$n$個位置了）。於是每一棵$n-1$個節點的樹會被得到$n$次。而每一種得到的方法都對應乙個葉子。所以葉子結點總數為$f_*n$

那麼答案就是$$ans=\frac=\frac}$$

把卡特蘭數的通項公式帶進去，化簡之後得到$$ans=\frac$$

不得不說這題真的太妙了

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//minamoto
2 #include3
intmain()

洛谷 P3978 TJOI2015 概率論

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