C 資料結構之二叉查詢樹（BST）

二分查詢法在演算法家族大類中屬於「分治法」，二分查詢的過程比較簡單，**見我的另一篇日誌，戳這裡！因二分查詢所涉及的有序表是乙個向量，若有插入和刪除結點的操作，則維護表的有序性所花的代價是o(n)。

就查詢效能而言，二叉查詢樹和二分查詢不分伯仲，但是，就維護表的有序性而言，二叉排序樹無須移動結點，只需修改指標即可完成插入和刪除操作，且其平均的執行時間均為o(lgn)，因此更有效。二叉查詢樹，顧名思義，是一種可以用來二分查詢的樹資料結構，其左孩子比父節點小，右孩子比父節點大，還有乙個特性就是」中序遍歷「可以讓結點有序。在對關鍵字進行查詢的時候，根據關鍵字與根節點的關鍵字比較的結果，分別選擇繼續與其左子樹或者右子樹進行比較，直到找到所查詢的關鍵字或者訪問節點的左右子樹不存在（沒找到關鍵字）則退出！

二叉查詢樹的主要操作有：插入關鍵字，查詢關鍵字，刪除關鍵字。下面分別對這三個步驟做詳細描述和演算法實現。

為了方便，我將二叉查詢樹實現為乙個類，結構如下：

typedef struct
node_
node;
class
binarytree
; ~binarytree();
bool
insertnode(t data);
bool
deletenode(t data);
node*findnode(t data);
private
: node *root;
};

1. 插入關鍵字的過程如下所示：

插入過程的**如下：

bool
binarytree::insertnode(t data)
/*setup new node 
*/if ((x = (node*)malloc(sizeof(*x))) == 0
) 
x->data =data;
x->parent =parent;
x->left =null;
x->right =null;
/*insert x in tree
*/if
(parent)
if(complt(x->data, parent->data))
parent->left =x;
else
parent->right =x;
else
root =x;
return
true
;}

其中的compeq和complt為2個巨集定義，用來比較兩個關鍵字的大小。

2. 查詢關鍵字的過程比較簡單，和二分查詢方法類似，**如下：

node*binarytree::findnode(t data)

3. 刪除關鍵字的過程分為2種情況討論：單孩子的情況和左右孩子的情況。1> 單孩子情況分析：

如果刪除的節點有左孩子那就把左孩子頂上去，如果有右孩子就把右孩子頂上去，so easy！如圖所示：

2> 左右孩子情況分析：

首先可以這麼想象，如果我們要刪除乙個陣列的元素，那麼我們在刪除後會將其後面的乙個元素頂到被刪除的位置，如下圖所示：

那麼二叉樹操作同樣也是一樣，我們根據「中序遍歷（inorder tree walk）」找到要刪除結點的後乙個結點，然後頂上去就行了，原理跟「陣列」一樣一樣的。

好了，貼**：

bool
binarytree::deletenode(t data)
node *x, *y;
/*find tree successor 
*/if (pnode->left == null || pnode->right ==null)
y =pnode;
else
/*x is y's only child 
*/if (y->left !=null)
x = y->left;
else
x = y->right;
/*remove y from the parent chain 
*/if (x) x->parent = y->parent;
if (y->parent)
if (y == y->parent->left)
y->parent->left =x;
else
y->parent->right =x;
else
root =x;
/*y is the node we're removing 
*//*
z is the data we're removing 
*//*
if z and y are not the same, replace z with y. 
*/if (y !=pnode) 
else
return
true
;}

好了，二叉查詢樹的**告一段落，我們在來分析一下二叉查詢樹的插入過程，假如有以下序列：<4, 17, 16, 20, 37, 38, 43>，則會生成如下所示二叉樹：

謝謝大家的閱讀，希望能夠幫到大家！ps：文章中部分利用了另外一篇文章的插圖（戳這裡）！

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