最大子串行和問題

[question]：給定整數\(a_1,a_2,a_3,...,a_n\)(可能有負數)，求\(\sum_^a_k\)的最大值（方便起見，若所有整數為負數，則最大序列和為0）

//例如：輸入\(-2,11,-4,13,-5,-2\),答案為\(20\)(從\(a_2\)到\(a_4\))

解法①：窮舉法

外兩層迴圈遍歷陣列，確定序列上下界。最內層迴圈遍歷序列求和。

1/*2
* maxsubsum1:解法①，窮舉法
3* 輸入陣列a
4* 返回最大子串行和5*/
6int maxsubsum1( const vector &a )722
}2324return
maxsum;
25 }

顯然，此方法時間複雜度為\(o(n^3)\)，並沒有什麼實際意義，\(n\)取較大值時演算法效果很差。　　

解法②：改進窮舉法

第二層每次迴圈順便求出子串行值，並判斷結果，取消第三層迴圈。

1/*2
* maxsubsum2:解法②，改進窮舉法
3* 輸入陣列a
4* 返回最大子串行和5*/
6int maxsubsum2( const vector &a )721
}2223return
maxsum;
24 }

顯然，此方法時間複雜度為\(o(n^2)\)，在窮舉法的基礎上稍作改進，\(n\)取較大值時演算法效果仍然很差。

解法③：分治策略

將原問題分成兩個大致相等的子問題，然後遞迴的對他們求解。最大子串行可能出現的地方：輸入資料的左半部，輸入資料的右半部，跨越資料中部佔據左右兩半部分。

1/*2
* max3:遞迴函式
3* 輸入陣列a,遞迴下界，遞迴上界
4* 返回一次遞迴最大子串行和5*/
6int maxsumrec(const vector &a, int left, int
right)715
16int center = (left + right) / 2;17
int maxleftsum =maxsumrec(a, left, center);
18int maxrightsum = maxsumrec(a, center + 1
, right);
1920
int maxleftbordersum = 0, leftbordersum = 0;21
for (int i = center; i >= left; i--)
22//
前半部分最大子串行和
2728
int maxrightbordersum = 0, rightbordersum = 0;29
for (int j = center + 1; j <= right; j++)
30//
後半部分最大子串行和
3536
return max3(maxleftsum, maxrightsum, maxleftbordersum + maxrightbordersum);//
max3為求三個整型數的最大值函式37}
3839
/*40
* maxsubsum3:解法③，分治策略
41* 輸入陣列a
42* 返回最大子串行和
43*/
44int maxsubsum3( const vector &a )
45

由於使用了遞迴，且遞迴函式內使用了一層迴圈，所以演算法時間複雜度為\(o(nlog_2n)\)。此時已經為較理想的結果。　　

解法④：終極方法

再次改進窮舉法，顯然我們可以推出乙個結論，如果\(a[i]\)是負的，那麼它不可能代表最優序列的起點，因為任何包含\(a[i]\)的作為起點的子串行都可以通過用\(a[i+1]\)做起點而得到改進。類似地，任何負的

子串行不可能是最優子串行的字首。如果在內迴圈中檢測到\(a[i]\)到\(a[j]\)的子串行是負的，那麼我們可以推進\(i\)。關鍵結論是：我們不僅可以把\(i\)推進到\(i+1\)，而且我們實際上還可以把它一直推進到\(j+1\)。為了證明，我們由前面的結論知道\(a[i]\)是非負的，其次\(j\)是使從下標\(i\)開始使序列和為負的第乙個下標，令\(p\)為\(i+1\)到\(j\)之間的任一下標，那麼從下標\(i\)到\(j\)中，序列\(a[i]...a[p-1]\)的和始終大於序列\(a[p]...a[j]\)的和。因此把\(i\)推進到\(j+1\)是安全的，我們不會錯過最優解。

1/*2
* maxsubsum4:解法④，終極方法
3* 輸入陣列a
4* 返回最大子串行和5*/
6int maxsubsum4( const vector &a )721
22return
maxsum;
23 }

顯然，演算法的時間複雜度為\(o(n)\)，並且只對資料一次掃瞄，一旦\(a[i]\)被讀入並處理，它就不需要被記憶，因此僅需常量空間並以線性時間執行的聯機演算法。

總結:要善於思考問題的結構，仔細研究資料的結構尋找最優解法。沒有思路時也可以先寫出最笨的方法，然後逐步改進。

參考：資料結構與演算法分析（c++描述）.第三版.【美】mark allen weiss.人民郵電出版社

最大子串行和問題

最大子串行和問題

最大子串行和問題

最大子串行和問題

相關推薦