譯文跳表一種平衡樹的概率性替代品

跳表是一種可以替代平衡樹的資料結構。跳表追求的是概率性平衡，而不是嚴格平衡。因此，跟平衡二叉樹相比，跳表的插入和刪除操作要簡單得多，執行也更快。

跳表是一種概率性可行的平衡二叉樹替代資料結構。跳表通過乙個隨機數生成器實現平衡。雖然跳表最壞情況下(worst-case)效能也很差，但是沒有任何輸入序列必然會導致最壞情況發生(這點類似劃分元素(pivot point)隨機選定的快排)。跳表極度不平衡發生的概率非常低(乙個包含250個元素的字典，一次查詢需要花3倍期望時間的概率小於百萬分之一)。跳表平衡概率跟隨機插入的二叉樹差不多，好處是插入順序不要求隨機。

實現概率性平衡比嚴格控制平衡要簡單得多。對很多應用來說，跳表用起來比平衡樹更自然，而且演算法更簡單。跳表演算法簡單性意味著更容易實現，而且與平衡樹和自適應樹相比有常數倍數的效能提公升。跳表在空間上也比較高效。平均每個元素只需要額外耗費個2指標(甚至可以配置得更低)，並不需要在每個節點上都存與平衡和優先順序相關的資料。

搜尋乙個鍊錶時，我們需要遍歷每個節點(如圖 1a)。如果列表是有序的，偶數節點另存乙個指向下乙個偶數節點的指標(如圖 1b)，我們只需要檢查最多(n/2)+1個節點(n是鍊錶規模)。如果序號為4的倍數的節點都有乙個往前跳4步的節點，那麼最多隻需要檢查(n/4)+2次。如果，序號為2^i的節點有乙個向前跳2^i步的指標，那麼則需要檢查log2 n次了！這種資料結構可以用來做快速搜尋，但是插入和刪除並沒有可行性。

有k個前進指標的節點成為k層節點。如果第2^i個節點有乙個向前跳2^i步的指標，那麼每層節點數滿足以下關係：第1層有50%的節點；第2層有25%的節點；第3層有12.5%的節點；以此類推。假設每層的比例還是一樣，但是節點隨機選擇，會怎樣呢(圖 1e)？節點第i個前進指標不嚴格跳2^i步，而是可以跳任意步。由於不需要維持特殊條件，插入節點層數隨機生成，插入和刪除只需要做區域性修改。極端情況下，有些層次分布會導致極差的效能，不過接下來我們會看到這種情況非常罕見。這種資料結構在鍊錶的基礎上加上額外指標以跳過一些中間節點，因此命名為跳表。

這小節介紹用於搜尋、插入、刪除的演算法。搜尋操作返回與給定鍵(key)關聯的值(value)，鍵不存在時則失敗。插入操作將給定鍵關聯到新的值，如果鍵不存在則插入新的節點。刪除操作刪除給定鍵。另外，類似最小鍵和下一鍵這類操作實現起來也非常簡單。

每個元素由乙個節點表示，層次由節點在插入時隨機選定，與已有元素無關。層次為i的節點擁有i個前進指標，下標分別是1至i。節點不需要儲存層數。選定乙個合適的常量maxlevel，層數在這個範圍內。跳表的層數時當前所有節點層數的最大值，或者當跳表為空是，層數為1。用乙個頭向量儲存從層次1到maxlevel的向前指標。指標高於當前跳表層數的部分直接指向nil。

約定nil元素，其鍵比所有合法建都大(上限)。跳表的任意層都以nil結尾。新的跳表初始化成層數只有1，並且所有表頭所有前進指標都指向nil。

查詢某個元素時，需要逐層遍歷所有鍵不超過給定鍵的節點。如果當前層前進節點已經不符合條件了，往下一層開始遍歷。當遍歷進行到第1層時，下乙個節點就是目標節點(如存在)。

search(list, searchkey)
x := list->header
for i := list->level downto 1 do
while x->forward[i]->key < searchkey do
x = x->forward[i]
x := x->forward[1]
if x->key = searchkey
then
return x->value
else
return failure

插入或者刪除節點，只需先執行搜尋操作(圖 3)，然後視情況重新拼接。偽**如下所示：

圖3展示了搜尋過程。注意到，搜尋的過程中維護了乙個名為update的向量，在每次降層搜尋時更新。搜尋完成後，update剛好記錄了各層在操作位置(圖中環)左邊最近的節點：

元素節點

update[1]

12update[2]

9update[3]

6update[4]

6如果插入時生成了乙個比當前最大層更大的層數，則需要更新跳表層數並且初始化update向量對應部分。

接下來，看看刪除操作的偽**：

delete(list, searchkey)
local update[1..maxlevel]
x := list-header
for i := list->level downto 1 do
while x->forward[i]->key < searchkey do
x := x->forward[i]
update[i] := x
x := x->forward[i]
if x->key < searchkey then
for i := 1 to list->level do
if update[i]->forward[i] != x then break
update[i]->forward[i] = x->forward[i]
free(x)
while list->level > 1 and list->header->forward[list->level] = nil do
list->level := list->level - 1

在每次刪除時，需要檢查被刪除節點是否是最大層節點。如果是，需要對跳表層數做對應調整。

接下來，需啊確定乙個隨機數生成函式，其概率分布使得第i層中有50%的節點同時資料第i+1層。先拋開具體數值，我們在討論乙個分數p，對於有i層指標的節點中p部分，同時擁有i+1層指標。以下便是乙個非常理想的隨機數生成函式，隨機層數生成與跳表元素及規模無關：

randomlevel()
lvl := 1
while random() < p and lvl < maxlevel do
lvl := lvl + 1
return lvl

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