這道題是一道$dp$題，思維難度比較大。
題意：先定義波形陣列：滿足當$i$全為奇數或偶數時，$a[i]>a[i-1]$且$a[i]>a[i+1]$。
求$n$的全排列中有多少個符合波形陣列。
我們記錄狀態為$f[i][j][0/1]$，$i$為剩下$i$個數，$j$表示有$j-1$個數小於剛剛選擇的數，當第$3$個下標為$0$時，表示這是山谷，為$1$則說明是山頂。
推理知道$f[i][j][0]$能影響$f[i-1][j..i][1]$，$f[i][j][1]$能影響$f[i-1][1..j-1][0]$。
最後求$f[0][1][0]+f[0][1][1]$的值即可。
此時時間複雜度為$o(n^3)$，空間為$o(n^3)$。
但是過不了。。
考慮將轉移方程變化下，把刷表改成填表，就發現$f[i][j][1]=\sum_^jf[i+1][x][0]$，$f[i][j][0]=\sum_^f[i+1][x][1]$，然後又發現可以在填表的過程中順便求下$\sigma$，於是就優化到了$o(n^2)$。
而空間可以通過滾動陣列優化掉一維。
1 #include 23using
namespace
std;45
#define re register
6#define rep(i, a, b) for (re int i = a; i <= b; ++i)
7#define repd(i, a, b) for (re int i = a; i >= b; --i)
8#define maxx(a, b) a = max(a, b);
9#define minn(a, b) a = min(a, b);
10#define ll long long
11#define inf (1 << 30)
1213 inline int
read()
1920
const
int maxn = 4200 + 10;21
22int f[2][maxn][2], n, p, cur = 1;23
24int
main()
39 v = f[cur^1][i+2][1
];40 repd(j, i+1, 1
) 44}45
46 printf("
%d", (f[cur][1][0] + f[cur][1][1]) %p);
4748
return0;
49 }
這道題還可以用數學統計下手推方程。
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