傳說很久以前，大地上居住著一種神秘的生物：地精。
地精喜歡住在連綿不絕的山脈中。具體地說，一座長度為n的山脈h可分為從左到右的n段，每段有乙個[b][u]獨一無二[/u][/b]的高度hi，其中hi是1到n之間的正整數。
如果一段山脈比所有與它相鄰的山脈都高，則這段山脈是乙個山峰。位於邊緣的山脈只有一段相鄰的山脈，其他都有兩段（即左邊和右邊）。
類似地，如果一段山脈比所有它相鄰的山脈都低，則這段山脈是乙個山谷。
地精們有乙個共同的愛好——飲酒，酒館可以設立在山谷之中。地精的酒館不論白天黑夜總是人聲鼎沸，地精美酒的香味可以飄到方圓數里的地方。
地精還是一種非常警覺的生物，他們在每座山峰上都可以設立瞭望台，並輪流擔當瞭望工作，以確保在第一時間得知外敵的入侵。
地精們希望這n段山脈每段都可以修建瞭望台或酒館的其中之一，只有滿足這個條件的整座山脈才可能有地精居住。
現在你希望知道，長度為n的可能有地精居住的山脈有多少種。兩座山脈a和b不同當且僅當存在乙個i，使得ai≠bi。由於這個數目可能很大，你只對它除以p的餘數感興趣。
輸入格式：
輸入檔案goblin.in僅含一行，兩個正整數n, p。
輸出格式：
輸出檔案goblin.out僅含一行，乙個非負整數，表示你所求的答案對p取餘之後的結果。
輸入樣例#1：
4 7
輸出樣例#1：
3
說明：共有10種可能的山脈，它們是：
1[u]3[/u]2[u]4[/u] 1[u]4[/u]2[u]3[/u] [u]2[/u]1[u]4[/u]3 2[u]3[/u]1[u]4[/u] 2[u]4[/u]1[u]3[/u]
[u]3[/u]1[u]4[/u]2 [u]3[/u]2[u]4[/u]1 3[u]4[/u]1[u]2[/u] [u]4[/u]1[u]3[/u]2 [u]4[/u]2[u]3[/u]1
其中加下劃線的數字表示可以設立瞭望台的山峰，其他表示可以設立酒館的山谷。
【資料規模和約定】
對於20%的資料，滿足n≤10；
對於40%的資料，滿足n≤18；
對於70%的資料，滿足n≤550；
對於100%的資料，滿足3≤n≤4200，p≤109。
求波動序列的個數
首先，了解波動序列的對稱性
序列如果為 1 4 2 5 3
對稱序列為 5 2 4 1 3
如果原序列開始遞減，那麼同n+1減每個數，就變成了遞減序列的對稱遞增序列
所以我們只需要求遞增序列，乘2就是總個數
設 f [i] [j] 為 排列 [ 1 , i ] 中開頭為 j 的且第一段上公升的方案數
這個方案數可以遞推而來
根據引理,
如果j 和 j-1 不相鄰 , 把抖動序列中的 j 和 j-1 交換仍然得到乙個抖動序列,而且是一一對應的
或者j 和 j-1 相鄰 ,這部分方案數來自於 f [ i-1 , i-j+1]
去掉 j ,則區間變為[1,j-1]並[j+1,i]
把[j+1,i]下移一位,則變為[1,i-1],那麼只要再求出這部分第一段下降的方案數即可
根據 引理3, 求出f[i-1][(i-1)-(j-1)+1]加上即可
最後*2
是因為我們求的是第一部分為上公升的
下降只需引理3一遍就可以
則方程 f[i][j]=f[i][j-1]+f[i-1][i-j+1];
再給出一種更易懂的方法：
f[i][0/1]i表示最高位的數字，0表示開始是上公升，1表示開始是下降。
為什麼會推出這個？
1、因為所謂抖動序列和每個數的具體值沒有關係，只與它的大小有關係，
2、在下乙個迴圈中，列舉開頭數字，所以只和上一種情況的最高位有關，在數字依次遞增的時候迴圈開頭的每個情況即可。
例： 若為1、 2、 3、 4、 5：
開始是2， 後面是1、 3、 4、 5，分別對應4個數時的1 、2、 3、 4；
轉移條件即為上一次遞推 <2 上公升 作為最高位為 2 的下降方案數
上一次遞推 >=2 下降 作為最高位為 2 的上公升方案數
在搞上字首和+字尾和優化，減掉一維 就可以n^2出解
1 #include2 #include3 #include4 #include5using
namespace
std;
6long
long ans,f[2][5001];7
intn,mod;
8int
main()
9 19
for (i=1;i<=n;i++)
2023 cout<<(ans*2)%mod;
24 }
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