relays 奶牛接力跑（矩陣快速冪求最短路徑）

題幹：

fj的n(2<=n<=1,000,000)頭奶牛選擇了接力跑作為她們的日常鍛鍊專案。至於進行接力跑的地點自然是在牧場中現有的t(2 <= t <= 100)條跑道上。農場上的跑道有一些交匯點，每條跑道都鏈結了兩個不同的交匯點 i1_i和i2_i(1<=i1_i<=1,000; 1<=i2_i<=1,000)。每個交匯點都是至少兩條跑道的端點。奶牛們知道每條跑道的長度length_i(1<=length_i<=1,000)，以及每條跑道鏈結的交匯點的編號並且，沒有哪兩個交匯點由兩條不同的跑道直接相連。你可以認為這些交匯點和跑道構成了一張圖。為了完成一場接力跑，所有n頭奶牛在跑步開始之前都要站在某個交匯點上（有些交匯點上可能站著不只1頭奶牛）。當然，她們的站位要保證她們能夠將接力棒順次傳遞，並且最後持棒的奶牛要停在預設的終點。你的任務是，寫乙個程式，計算在接力跑的起點(s)和終點(e)確定的情況下，奶牛們跑步路徑可能的最小總長度。顯然，這條路徑必須恰好經過n條跑道。

題解：

看到 n 這麼大嚇了一跳，最後看到 n 其實就是路徑長度，基本上這就是矩陣快速冪了。但是節點大小為1～1000，顯然難以承受，但是它的邊不過 100 條，所以它有用的點最多為 101 個（連通），通過離散化可以實現（或者先建邊，dfs一遍標個號即可）。將路徑長度作為指數，直接將每個邊的長度作為矩陣的值進行矩陣快速冪。

為什麼要將將每個邊的長度直接作為矩陣的值？不用縮點嗎？若我們進行縮點，100000 個點一定無法接受。再者，其實若是求必經 n 條路的最短路徑長度，我們矩陣的定義就變為了由 x 到 y 節點必須經過 z 條路徑的最小值，而每個節點的值就是路徑長度，所以不需縮點。

但是如果是普通的矩陣快速冪，它求出的只是經過乙個點的路徑種類數，無法滿足我們的預期，我們可以將矩陣乘法由題意改變一下，變為：

sum.a[i][j]=min(sum.a[i][j],aa.a[i][k]+bb.a[k][j]);

可以發現，把矩陣乘法的 ∑ 改成取 min 一樣滿足分配律；而且矩陣乘幾次，它每個點所表示的就變為了恰好經過 n 的長度（可以走重邊）到達這個點（座標）的方案總數。（本題就是最短距離）所以我們是可以將矩陣乘法變為我們所需要的形式。

code：

1 #include2 #include3 #include4
#define $ 111
5using
namespace
std;
6int m,n,t,start,done,in[$],sta[$*2],out
[$],w[$],up;
7 inline int min(int x,int y)
8struct
tree
11 friend tree operator *(tree aa,tree bb)
19 friend tree operator ^ (tree aa,int
x)25
};26
signed main()
39 start=lower_bound(sta+1,sta+m+1,start)-sta;
40 done= lower_bound(sta+1,sta+m+1,done)-sta;
41 ans=ans^n;
42 printf("
%d\n
",ans.a[start][done]);
43 }

view code

relays 奶牛接力跑（矩陣快速冪求最短路徑）

矩陣快速求冪

矩陣快速求冪

矩陣快速冪求fib

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矩陣快速求冪

矩陣快速求冪

矩陣快速冪求fib

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