演算法 3 堆排序

堆排序是一種選擇排序，其時間複雜度為o(nlogn)。

堆的定義

n個元素的序列當且僅當滿足下列關係之一時，稱之為堆。

情形1：ki 

<= k2i 且ki 

<= k2i+1 （最小化堆或小頂堆）

情形2：ki >= k2i 且ki >= k2i+1 （最大化堆或大頂堆）

其中i=1,2,…,n/2向下取整;

若將和此序列對應的一維陣列（即以一維陣列作此序列的儲存結構）看成是乙個完全二叉樹，則堆的含義表明，完全二叉樹中所有非終端結點的值均不大於（或不小於）其左、右孩子結點的值。

由此，若序列是堆，則堆頂元素（或完全二叉樹的根）必為序列中n個元素的最小值（或最大值）。

例如，下列兩個序列為堆，對應的完全二叉樹如圖：

若在輸出堆頂的最小值之後，使得剩餘n-1個元素的序列重又建成乙個堆，則得到n個元素的次小值。如此反覆執行，便能得到乙個有序序列，這個過程稱之為堆排序。

堆排序（heap sort）只需要乙個記錄元素大小的輔助空間（供交換用），每個待排序的記錄僅占有乙個儲存空間。

一般用陣列來表示堆，若根結點存在序號0處， i結點的父結點下標就為(i-1)/2。i結點的左右子結點下標分別為2*i+1和2*i+2。

（注：如果根結點是從1開始，則左右孩子結點分別是2i和2i+1。）

如第0個結點左右子結點下標分別為1和2。

如最大化堆如下：

左圖為其儲存結構，右圖為其邏輯結構。

實現堆排序需要解決兩個問題：

1.如何由乙個無序序列建成乙個堆？

2.如何在輸出堆頂元素之後，調整剩餘元素成為乙個新的堆？

先考慮第二個問題，一般在輸出堆頂元素之後，視為將這個元素排除，然後用表中最後乙個元素填補它的位置，自上向下進行調整：首先將堆頂元素和它的左右子樹的根結點進行比較，把最小的元素交換到堆頂；然後順著被破壞的路徑一路調整下去，直至葉子結點，就得到新的堆。

我們稱這個自堆頂至葉子的調整過程為「篩選」。

從無序序列建立堆的過程就是乙個反覆「篩選」的過程。

初始化堆的時候是對所有的非葉子結點進行篩選。

最後乙個非終端元素的下標是[n/2]向下取整，所以篩選只需要從第[n/2]向下取整個元素開始，從後往前進行調整。

比如，給定乙個陣列，首先根據該陣列元素構造乙個完全二叉樹。

然後從最後乙個非葉子結點開始，每次都是從父結點、左孩子、右孩子中進行比較交換，交換可能會引起孩子結點不滿足堆的性質，所以每次交換之後需要重新對被交換的孩子結點進行調整。

有了初始堆之後就可以進行排序了。

堆排序是一種選擇排序。建立的初始堆為初始的無序區。

排序開始，首先輸出堆頂元素（因為它是最值），將堆頂元素和最後乙個元素交換，這樣，第n個位置（即最後乙個位置）作為有序區，前n-1個位置仍是無序區，對無序區進行調整，得到堆之後，再交換堆頂和最後乙個元素，這樣有序區長度變為2。。。

不斷進行此操作，將剩下的元素重新調整為堆，然後輸出堆頂元素到有序區。每次交換都導致無序區-1，有序區+1。不斷重複此過程直到有序區長度增長為n-1，排序完成。

首先，建立初始的堆結構如圖：

然後，交換堆頂的元素和最後乙個元素，此時最後乙個位置作為有序區（有序區顯示為黃色），然後進行其他無序區的堆調整，重新得到大頂堆後，交換堆頂和倒數第二個元素的位置……

重複此過程：

最後，有序區擴充套件完成即排序完成：

由排序過程可見，若想得到公升序，則建立大頂堆，若想得到降序，則建立小頂堆。

假設排列的元素為整型，且元素的關鍵字為其本身。

因為要進行公升序排列，所以用大頂堆。

根結點從0開始，所以i結點的左右孩子結點的下標為2i+1和2i+2。

void heapadjust(int h, int start, int

end) 
if (temp > h[i])//
左右孩子中獲勝者與父親的比較
//將孩子結點上位，則以孩子結點的位置進行下一輪的篩選
h[start] =h[i];
start =i;
}h[start] = temp; //
插入最開始不和諧的元素
} 
void heapsort(int a, int
n) 
//進行排序
for (int i = n; i > 0; i--) 
}

堆排序在最壞的情況下，其時間複雜度也為o(nlogn)。相對於快速排序來說，這是堆排序的最大優點。此外，堆排序僅需乙個記錄大小的供交換用的輔助儲存空間。

演算法 3 堆排序

堆排序是一種選擇排序，其時間複雜度為o nlogn 堆的定義 n個元素的序列當且僅當滿足下列關係之一時，稱之為堆。情形1 ki k2i 且ki k2i 1 最小化堆或小頂堆 情形2 ki k2i 且ki k2i 1 最大化堆或大頂堆 其中i 1,2,n 2向下取整 若將和此序列對應的一維陣列 即以一...

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