關於最短路 負環 差分約束系統的一點筆記

「可以」沒有環，最多\(|v|-1\)條邊

有負環則不存在最短路

會形成最短路徑樹

演算法dijkstra 貪心，當\(d_u\)是最小時要滿足之後\(d_u\)不會更小，不能處理負權邊

bellman-ford 迭代n-1輪，用邊鬆弛

spfa 佇列優化的bellman-ford

最短路的線性規劃形式

最大化 \(d_i\)

滿足三角不等式 $d_v \le d_u + w(u,v),\ $

\(d_s=0\)

說明：上述約束對應了無窮組解。最短路求的是滿足約束的最大值。因為三角不等式要求取等號時w(u,v)是最短路上的邊。

應用差分約束系統

非dag上dp

一般使用spfa或者縮點後dp

應為dijkstra有貪心策略的限制

將所有點入隊，且\(d_i=0\)

負環只看不等約束，不看初始值

演算法bellman-ford 常數小

spfa 判斷 1. 入隊次數》=n 2.最短路長度》=n

spfa-dfs 沒多大意思，輕鬆被卡

應用01分數規劃

**見最後

舊和最短路的線性規劃形式類似的一類線性規劃問題

也是需要初值的，對應d[s]=0

最短路最大化

有負環則無解

圖不連通 無關 任意解

最長路最小化

有正環則無解

圖不連通 無關 任意解

當然也可以轉化成最短路

判負環的**

#include #include #include #include #include using namespace std;

const int n = 2005, m = 3005;
inline int read() 
while(c>='0' && c<='9') 
return x * f;
}int n, m;
struct edge e[m<<1];
int cnt, h[n];
inline void ins(int u, int v, int w) ; h[u] = cnt;
}int d[n], cou[n];
bool bellman_ford() 
} }return true;
}int main() 
puts(bellman_ford() ? "n0" : "ye5");
}}

#include #include #include #include #include using namespace std;

const int n = 2005, m = 3005;
inline int read() 
while(c>='0' && c<='9') 
return x * f;
}int n, m;
struct edge e[m<<1];
int cnt, h[n];
inline void ins(int u, int v, int w) ; h[u] = cnt;
}int d[n], cou[n], inq[n], cinq[n];
int q[n], head, tail;
inline void lop(int &x) 
bool spfa() 
}} }
return true;
}int main() 
puts(spfa() ? "n0" : "ye5");
}}

關於最短路 負環 差分約束系統的一點筆記

可以 沒有環，最多 v 1 條邊 有負環則不存在最短路 會形成最短路徑樹 演算法dijkstra 貪心，當 d u 是最小時要滿足之後 d u 不會更小，不能處理負權邊 bellman ford 迭代n 1輪，用邊鬆弛 spfa 佇列優化的bellman ford 最短路的線性規劃形式 最大化 d ...

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