最大連續子陣列和問題

求陣列的子陣列之和的最大值是在《程式設計之美》上的一道題，覺得挺有意思，就寫下此文，也便於自己以後溫習。

這道題的解法有很多種，比較容易想到的方法有列舉法，就是把所有的子陣列長度的和都計算一遍，求出其中的最大值。這種演算法的時間複雜度是o(n^2)；還有分治法，就是將陣列分為一半一半，那麼最大和=max(左半邊的最大和，右半邊的最大和，左右兩邊銜接處所所構成的最大和)，其解的示意圖如下所示。

這種解法的複雜度為o(nlogn)。當然，看過這本書的人，一定會知道其實還有一種更為簡便的方法。

這種解法只需要掃瞄一遍陣列，就可以得到答案。我們需要兩個輔助變數來完成這個過程：maxendhere和maxlen。其中maxendhere表示從掃瞄點開始相加所能獲得的最大和，而maxlen表示從陣列一端到掃瞄點處，所能獲得的最大連續和，這兩個變數的關係如下圖：

從這張圖可以看出，隨著陣列元素的掃瞄，maxendhere有可能轉化為maxlen（因為maxendhere也是連續子陣列之和，該值在掃瞄時可能大於之前計算得到的maxlen）。新的maxendhere=之前的maxendhere+array[i]，i為掃瞄點，在得到新的maxendhere後，其值可能大於maxlen，從而成為新的maxlen。這樣，得到第一組關係式：

1）新的maxendhere=之前的maxendhere+array[i]

2）maxsum=新的maxendhere>maxsum ? 新的maxendhere:maxsum

另外，還有一種情況不能忽略，那就是當之前的maxendhere小於0時，根據上面的關係式，我們可以看到相加之後，新的maxendhere=之前maxendhere+array[i] < array[i]，那麼此時應當有maxendhere=array[i]，所以，還應當增加一組關係式：

3）新的maxendhere=新的maxendhere > array[i]? 新的maxendhere:array[i]

我們將上述兩組關係式綜合一下，得到新的關係式：

1）新的maxendhere=之前的maxendhere+array[i]

2）新的maxendhere=新的maxendhere > array[i]? 新的maxendhere:array[i]

3）maxsum=新的maxendhere>maxsum ? 新的maxendhere:maxsum

有了這三組關係式，就可以寫出程式了，很明顯，這種解法的時間複雜度是o(n)。

int get_max(int *a,int
n) 
return
maxsum;
}

現在將其擴充套件為二維陣列，其問題變成求解子矩形中的最大和，如下圖所示：

我們希望能夠利用一維陣列的中o(n)的解法來幫助我們解決這個問題，那麼是否可行呢？

答案自然是可行的，我們需要做的是將二維陣列「合併」成一維陣列。如下圖將兩個相鄰的行陣列」合併「成乙個一維的陣列。

同理，可以合併n個相鄰的一維陣列，得到合併後的一維陣列。

得到一維陣列後，就可以使用一維陣列的求解方法，得到從start到end的範圍內所能得到的最大和。設二維陣列的大小是n(行) * m(列)，那麼start的取值範圍為[0,n]，而end的範圍為[start,n]，列舉所有可行的(start,end)對，將這區間內的二維陣列合併為一維陣列，就可以求得該(start,end)取值對下的最大和。由此可寫出整個過程的**：

int get_max_2d(int **matrix,int n,int
m) }
return
maxsum;
}

我們看到合併陣列和求解一維陣列的最大和的時間複雜度都是o(m)，整個過程一共需要迴圈o(n^2)次，因此複雜度為o(m*n^2)。

最大連續子陣列和問題

最大連續子陣列和

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