證明思路**於 dzyo 發的部落格
設 \(\textbf a\) 是 n階矩陣，\(f(\lambda)=\det(\lambda\textbf i-\textbf a)\)，為其特徵多項式，則 \(f(\textbf a)=\textbf0\)。
考慮令 \(\textbf=\lambda\textbf i-\textbf a,\textbf c=\textbf^*\) ，那麼有 \(\textbf=\textbf=\det(\lambda\textbf i-\textbf a)\textbf i=f(\lambda)\textbf i\)
考慮到 \(\textbf c_\) 是關於實數\(\lambda\) 的 \(n-1\) 次多項式，\(\textbf b_\) 是關於實數\(\lambda\) 的 \(1\) 次多項式，那麼可以把 \(\textbf b,\textbf c\) 都拆分成矩陣多項式然後再乘起來，結果是乙個 \(n\) 次的矩陣多項式 \(f(\lambda)=f(\lambda)\textbf i\)，注意到這個地方多項式乘法的時候需要計算 \(a_i\lambda^i\times b_j\lambda^j\)，因此該矩陣多項式是乙個矩陣的多項式必須要帶入的矩陣 \(\textbf x\) 必須滿足 \(\textbf x\) 與 \(a_i,b_i\) 都可以交換才行。
根據上面得到的等式可以推出 \(f_i=f_i\textbf i\) ，由於 \(\textbf a\) 是可以和 \(a_i,b_i\) 交換的，因此可以將 \(\lambda\) 替換成 \(\textbf a\)
於是 \(f(\textbf a)=\textbf0=f(\textbf a)\textbf i\)
\(\rightarrow f(\textbf a)=0\)
得證
淡定，淡定，淡定
我的思緒過分調皮，有時候有個靈感覺得挺好還沒來得及記下來就又去想別的事情了，真不知道自己是怎麼回事。有時候糾結一件事情，是因為不知道如何選擇下面的行動，通常我看到乙個問題後都會冒出a b c三種選擇，如果其中乙個優勢特別顯著還好要是勢力相當就玩完了，我就會很矛盾很糾結，通常是先往東在往西或許還要來回...
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