目錄數學中的對稱多項式是一種特殊的多元多項式。
如果乙個 n 元多項式 \(\text p(x_1,x_2,...,x_n)\) ，對任意的 n 元置換 \(\sigma\)，都有 \(\text p(x_, x_, ..., x_)=\text p(x_1,x_2, ...,x_n)\) ，就說 \(\text p\) 是對稱多項式。
範德蒙德矩陣的行列式值： \(\prod\limits_^n(x-x_i)\) 的判別式
等冪對稱式： \(p_k(x_1,x_2,...,x_n)=\sum\limits_^nx_i^k\)
初等對稱式： \(e_k(x_1,x_2,...,x_n)=\sum\limits_,|s|=k}\prod\limits_x_i,1\le k\le n\) ，當 \(k>n\) 時 \(e_k(x_1,x_2,...,x_n)=0\) ，當 \(k=0\) 時， \(e_k=1\)
完全齊次對稱式： \(h_k(x_1,x_2,...,x_n)=\sum\limits_x_x_...x_\)，當 \(k=0\) 時， \(h_k=1\)
乙個 n 元多項式 f 是一些 n 元初等對稱式的代數組合，當且僅當 f 是對稱多項式
該定理的直接推論： 將首一多項式的 n 個根帶入乙個對稱多項式，等於將原多項式的各項係數帶入某個多項式
由於討論的 n 個變元都一樣，以下把等冪對稱式，初等對稱式，完全初等對稱式的第 \(k\) 項分別簡稱為 \(p_k,e_k,h_k\)
令 \(p(x)=\sum\limits_^p_ix^i,e_0(x)=\sum\limits_^e_ix^i,h(x)=\sum\limits_^h_ix^i,e(x)=e_0(-x)\)
\(e*h=1\)
證明：顯然有 \(h(x)=\prod\limits_^\frac1\) 和 \(f(x)=\prod\limits_^n(x-x_i)=\sum\limits_^(-1)^ie_ix^\)
那麼 \(x^nf(\frac1x)=\prod\limits_^n(1-x_ix)=\sum\limits_^(-1)^ie_ix^i=e(x)\)
於是 \(e*h=1\)
得證\[\begin
e_k(1,2,...,n)=&s1_^\\
h_k(1,2,...,n)=&s2_^
\end
\]將生成函式進行比對即可證明
\(\forall n,k\ge1,ke_k=\sum\limits_^k(-1)^e_p_i\)
可以用數學歸納法證明，從一元推到n元的形式
或者我們冷靜一下，考慮等冪和的推導方式，由於 \(p(x)=\sum\limits_^n\frac1\) ，且 \(\frac1=1-x(\ln(1-a_ix))'\) ，於是能夠推出 \(p(x)=n-x(\ln(\prod\limits_^n(1-a_ix)))'\) ，即 \(p(x)=n-x(\ln(e(x)))'\) ，與結論 3 相符。
同時可以得到的結論是 \(e(x)=\frac1x\text dx}},p(x)=n+x\ln(h(x)),h(x)=e^x\text dx}\) ，說不定就能用上
比如說給你乙個 \(p(x)\) ，讓你還原所有的 \(a_i\) ，那麼我們可以求出 \(e(x)\) ，然後求出 \(e(x)\) 所有根.
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