Codevs 3269 混合揹包

題目描述 description

揹包體積為v ,給出n個物品，每個物品占用體積為vi,價值為wi,每個物品要麼至多取1件，要麼至多取mi件(mi>1) , 要麼數量無限，在所裝物品總體積不超過v的前提下所裝物品的價值的和的最大值是多少？

輸入描述 input description

第一行兩個數n,v,下面n行每行三個數vi,wi,mi表示每個物品的體積，價值與數量，mi=1表示至多取一件，mi>1表示至多取mi件，mi=-1表示數量無限

輸出描述 output description

1個數ans表示所裝物品價值的最大值

樣例輸入 sample input

2 10

3 7 2

2 4 -1

樣例輸出 sample output

22資料範圍及提示 data size & hint

對於100%的資料,v <= 200000 , n <= 200

題目說的很民白了。。。。

這道題就是01揹包，完全揹包，多重揹包的結合，而且資料極大。【資料大得pascal呼叫max函式還會tle！！調(kan)了(le)好(ti)久(jie)才發現這個問題

倘若是01揹包與完全揹包的結合，這道題就挺好辦的，就可以這樣亂搞：

for i:=1
to n do
begin
if01揹包的情況 then
for j:=m downto w[i] do f[j]:=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]) else
if 完全揹包的情況 then
for j:=w[i] to m do f[j]:=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]) ;
end;

01+完全

可事實不是這樣的，還多了乙個多重揹包。接下來就來說明一下怎麼將多重揹包轉成01揹包。

假定我們讀入的第i個物品的數量為p[i]，重量w[i]，價值c[i]，那麼p[i]個物品就可以分為數量分別為1，2，4，...，2^log2p[i]的物品，不夠分直接取剩餘的。

比如說，當p[i]=8，w[i]=3，c[i]=5時，可以分為如下4個物品：

1.p[1]=1; w[1]=w[i]*p[1]=3*1=3; c[1]=c[i]*p[1]=5*1=5

2.p[2]=2; w[2]=w[i]*p[2]=3*2=6; c[2]=c[i]*p[2]=5*2=10

3.p[3]=4; w[3]=w[i]*p[3]=3*4=12; c[1]=c[i]*p[3]=5*4=20

4.p[4]=1; w[4]=w[i]*p[4]=3*1=3; c[4]=c[i]*p[1]=5*1=5

這樣分有什麼好處呢？

如果我們不這麼做，那麼要將它轉化為01揹包就必須將p[i]分成p[i]份，每份一件物品，以滿足p[i]+1種取的方法(即取0個，取1個，...，取p[i]個)，這樣子的最終的效率為o(m*sigma(p[i]))【m為揹包容量】，不用看，效率極低。

我們將p[i]分為log2p[i]份則恰好解決的這個問題，先看效率，縮至o(m*sigma(log2p[i]))，接著不難發現，所分成的這log2p[i]個數恰好可以拼成0..p[i]之間任意乙個數，如上面p[i]=8的例子，取0件則一件不取，取1件則取p[1]或p[4]，取2件則取p[1]+p[4]或p[2]，取3件則取p[1]+p[2]或p[4]+p[2]，取4件則取p[1]+p[2]+p[4]或p[3]，取5件則取p[1]+p[3]或p[4]+p[3]，取6件，取7件，取8件我就懶得打了。。

於是將它轉化為01揹包後就可以套用上面的**了。

程式：

1
var w1,w,c1,c,p1,p:array[0..10000] of
int64;
2var f:array[0..200000] of
int64;
3var
top,k,n,m:int64;
4var
i,j:longint;
5function pow(x:longint):int64;//沒事敲快速冪練手感
6begin
7if x=0
then exit(1
);8 pow:=pow(x >> 1
);9 pow:=pow*pow;
10if odd(x) then pow:=pow*2;11
end;
12begin
13readln(n,m);
14for i:=1
to n do
readln(w[i],c[i],p[i]);
15for i:=1
to n do
16begin
17if (p[i]=-1)or(p[i]=1) then//01
揹包或完全揹包的情況
18begin
19 inc(top);w1[top]:=w[i];c1[top]:=c[i];p1[top]:=p[i];
20continue;
21end;22
for j:=0
to trunc(ln(p[i])/ln(2))+1
do//處理多重揹包的情況
23begin
24if p[i]=0
then
break;
25 k:=pow(j);
26if p[i]>=k then
27begin
28 p[i]:=p[i]-k;inc(top);w1[top]:=w[i]*k;c1[top]:=c[i]*k;p1[top]:=k;
29end
else
30if p[i]then//處理剩餘的情況
31begin
32 k:=p[i];
33 inc(top);w1[top]:=w[i]*k;c1[top]:=c[i]*k;p1[top]:=k;
34break;
35end;36
end;
37end;38
for i:=1
to top do//亂搞
39begin
40if p1[i]=-1
then
for j:=w1[i] to m do
begin
if f[j]then f[j]:=f[j-w1[i]]+c1[i]; end
else
41if p1[i]>0
then
for j:=m downto w1[i] do
begin
if f[j]then f[j]:=f[j-w1[i]]+c1[i]; end;42
end;
43writeln(f[m]);
44end.

codevs 3269-混合揹包

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