在分析之前，要嚴格區分乙個概念是在概率學上的定義還是在統計學上的定義。概率學比統計學更加的抽象一點，概率學研究乙個事件的理想的情況，但是在真實的世界，這種理想的情況是很難或者不可能達到的，所以利用統計學中的樣本來估計這個理想的結果。
概率論中方差用來度量隨機變數和其數學期望（均值）之間的偏離程度。
統計學中的方差（樣本方差）是各個資料分別與其平均數之差的平方和的平均數。
設x是乙個隨機變數，若$e\\} $存在，則稱$e\\} $為x的方差，記為d(x)或者var(x)。
d(x)是刻畫x取值分散程度的乙個量，它是衡量取值分散程度的乙個尺度。
離散型方差：
$d(x) = \sum\nolimits_^n \cdot - u)}^2}} $。其中$u = e(x) = \sum\nolimits_^n \cdot } $
注意：在統計學中，樣本的均值為$\widehat u = \frac\sum\nolimits_^n } $
將上面的d(x)展開後得到\[d(x) = var(x) = \sum\nolimits_^n \cdot x_i^2) - } \]
連續型方差：
對於連續型隨機變數，$var(x) = = \int ^2}f(x)dx = } \int f(x)dx - } $其中$u = \int $並且此處的積分是以x的取值範圍（一般是負無窮~正無窮）為積分上下界的定積分。所以$\int_^ = 1$。
根據方差的定義：$d(x) = e\\} $
所以：
方差是各個資料與平均值之差的平方和的平均數，即：
\[ = \frac[ - \overline x )^2} + - \overline x )^2} + ... + - \overline x )^2}]\]
其中$\overline x $是樣本的平均數。
注意這裡的$$並不是隨機變數的方差，它是利用樣本資料對隨機變數方差的乙個估計。
現在樣本只是總體的一部分，用樣本得到的樣本方差也不可能那麼理想的正好等於總體方差。為了能準確的估計總體方差，希望這個樣本方差能夠是總體方差的乙個無偏估計。也就是說$e() = $。其中$$是樣本方差，$$是總體方差。
但是上面的$$不是$$的無偏估計：
從公式推導可以看到，這裡的$$不是$$的無偏估計。
所以一般的樣本方差用乙個修正值：
\[ = \frac}^n - \overline x )} ^2}\]
樣本方差公式裡分母為n-1的目的是為了讓方差的估計無偏，因為無偏的估計比有偏估計更好的符合直覺。儘管有的統計學家認為讓mean square error即mse最小才更具有意義。
在做出解釋前先給出結論：
\[e[\frac}\sum\limits_^n - \overline x )}^2}} ] = \]
也就是說$\frac}\sum\limits_^n - \overline x )}^2}} $是總體樣本方差$$的無偏估計。
第一種情況：
假設隨機變數x的數學期望u是已知的，然而$$是未知的。在這種情況下，樣本方差可以直接用定義寫出來：各個資料分別與平均數（這裡的平均數是均值u）之差的平方和的平均數。也就是：$ = \frac^n - u)} ^2}$。
\[\begine()\\ = e(\frac^n - u)} ^2})\\ = \frace(^n - u)} ^2})\\ = \frac^n - u)} ^2}]\\ = \frac\sum\nolimits_^n ^2 - 2u} + ]\\ = \frac\sum\nolimits_^n ^2 - 2ue + ]} \\ = \frac\sum\nolimits_^n + - 2 + ]} \\ = \end\]
所以$e(\frac^n - u)} ^2}) = $
即在隨機變數x的數學期望u已知的條件下，$\frac^n - u)} ^2}$是總體方差的無偏估計。
第二種情況：
在隨機變數x的數學期望u未知的情況下，我們被迫使用樣本均值 $$代替上面的u，也就是使用$\frac^n - \overline x )} ^2}$作為總體方差$}$的估計。
但是這種情況往往會低估總體方差。因為：
而$\frac^n - u)} ^2}$才是對總體方差的無偏估計。
綜合上面的兩種情況來說：
在不知道隨機變數真實數學期望的條件下，把分母n換成n-1，就是把原來偏小的估計放大了一點，這樣就能得到正確的估計了。
$e(\frac^n - u)} ^2}) = e[\frac}\sum\limits_^n - \overline x )}^2}} ] = $至於為什麼是n-1，而不是n-2或者什麼別的數，上面的公式已經推導過了。
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