隨 rand dp，原根，矩陣 倍增優化

題幹：對於$10\%$的資料mod=2,a[i]必定為1，直接輸出1.

對於另$10\%$的資料n=1,輸出$ a[1]^m\%mod $ 注意模mod而非$1e9+7$。

對於$50\%$的資料，我們考慮dp，

設$ f[i][j] $為i次操作後結果為j的方案數，

易得轉移方程為：$ f[i][j*a[k]\%mod]=\sum\limits f[i-1][j] $(考場上想到的sb dp)

但$ o(n*m*mod) $的複雜度令人望而卻步，並不能多得分。

於是考慮優化，觀察得$mod<=300$而$n<=100000$,想到類似離散化的思路，

用乙個陣列$c[i]$記錄第$i$數出現的次數

轉移方程式變為：$ f[i][j*a[k]\%mod]=\sum\limits f[i-1][j]*c[k] $

時間複雜度變為$ o(m*mod^2) $,期望得分50pts。

對於$ 100\% $的資料，我們考慮優化，

方法一：矩陣快速冪+原根優化（然而蒟蒻並不會）附上wd大神部落格

方法二：倍增優化，

回過頭來再看剛才的dp式子，我們可得：$ f[i+q][j*a[k]\%mod]=f[i][j]*f[q][k] $

同樣可得：$ f[2*i][j*k\%mod]=f[i][j]*f[i][k] $

於是我們可以在$ o(logm) $的時間求出 $f[2^1],f[2^2],f[2^3]\cdots,f[2^n]  (2^n<= m< 2^) $

所以我們可以使用快速冪的思想，將m二進位制拆分，下附普通快速冪模板：

ll qpow(ll x,ll y,ll mod)

return ans;
}

$f[i][j]$陣列含義也變為操作$2^i$次，結果為$j$的方案數。

而$g[i][j]$陣列為操作$2^1+2^2+2^3+\cdots+2^i$次，結果為$j$的方案數。

所以$ f[i][j*k\%mod]=\sum\limits_^\sum\limits_^f[i-1][j]*f[i-1][k] $

$ g[i][j*k\%mod]=\sum\limits_^\sum\limits_^g[i-1][j]*f[i][k] $

還有最後乙個問題：記憶體

當前我們的空間複雜度為：$ o(logm*mod) $，而f，g陣列都只與上乙個狀態有關，顯然可用滾動陣列,最後的空間複雜度為$o(2*mod)$，時間複雜度為$o(mod^2logm)$。

1 #include2 #include3 #include4 #include5 #include6

using
namespace
std;
7#define r register
8#define ll long long
9inline ll read()
13while(cc>='
0'&&cc<='9'
)14 
15return aa*bb;16}
17const
int p=1e9+7;18
const
int n=1005;19
ll qpow(ll x,ll y,ll mod)
2026
return
ans;27}
28 ll n,mod,m,tmp=0,cur=0
;29 ll ans,f[2][n],g[2
][n];
30 inline void split(int
y)31
40 y>>=1
;41 memset(f[tmp^1],0,sizeof
(f[tmp]));
42for(r int i=1;ii)
46 tmp^=1;47
}48}49
intmain()
5053
if(n==1)59
for(r int i=1;i<=n;++i)
60 ++f[0
][read()];
61 g[0][1]=1;62
split(m);
63for(r int i=1;i<=mod;++i)
64 ans=(ans+g[cur][i]*i%p)%p;
65 ans=1ll*ans*qpow(n,m*(p-2),p)%p;
66 printf("
%lld\n
",ans);
67return0;
68 }

原根 51nod 1135（原根）

設m是正整數，a是整數，若a模m的階等於 m 則稱a為模m的乙個原根。其中 m 表示m的尤拉函式 給出1個質數p，找出p最小的原根。input 輸入1個質數p 3 p 10 9 output 輸出p最小的原根。sample input 3sample output 2題意 求乙個質數的最小原根 分析...

1135 原根（概念）

設m是正整數，a是整數，若a模m的階等於 m 則稱a為模m的乙個原根。其中 m 表示m的尤拉函式 給出1個質數p，找出p最小的原根。輸入輸入1個質數p 3 p 10 9 輸出輸出p最小的原根。輸入樣例 3輸出樣例 2a是p的原根滿足 p 1的所有質因子p1,p2,pk，都滿足a p 1 pi p 1...

階 原根 指標

定義 設 使得 成立的最小的 稱為對模 的階，記為 定理 如果模 有原根，那麼它一共有 個原根。定理 若，則。定理 如果 為素數，那麼素數 一定存在原根，並且模 的原根的個數為 定理 設 是正整數，是整數，若 模的階等於 則稱為模 的乙個原根。假設乙個數 對於模來說是原根，那麼 的結果兩兩不同,且有...