生成樹
生成樹(spanning-tree)是圖論裡面乙個重要的概念。
乙個無向圖的所有邊構成的集合稱為這個無向圖的邊集，乙個構成樹的邊集的子集，就成為這個無向圖的生成樹。 如果只是要求一棵生成樹或者是要求邊總權值最小的生成樹，有很多經典的演算法，比如prim與kruscal演算法。 然而如果要求乙個無向圖的生成樹數量，就不是乙個那麼簡單的任務了。
matrix-tree定理
以下引用自國家集訓隊2008**集
matrix-tree定理是解決生成樹計數問題最有力的**之一。它首先於2023年被kirchhoff證明。在介紹定理之前，我們首先明確幾個概念：
1、 g的度數矩陣d[g]是乙個nn的矩陣，並且滿足：當i≠j時,dij=0；當i=j時，dij等於vi的度數。 2、 g的鄰接矩陣a[g]也是乙個nn的矩陣， 並且滿足：如果vi、vj之間有邊直接相連，則aij=1，否則為0。
我們定義g的kirchhoff矩陣(也稱為拉普拉斯運算元)c[g]為c[g]=d[g]-a[g]，則matrix-tree定理可以描述為：g的所有不同的生成樹的個數等於其kirchhoff矩陣c[g]任何乙個n-1階主子式的行列式的絕對值。所謂n-1階主子式，就是對於r(1≤r≤n)，將c[g]的第r行、第r列同時去掉後得到的新矩陣，用cr[g]表示。the matrix revolutions(icpc regionals 2014 :: asia - shanghai problem a)
給定乙個無向圖，每條邊上有黑色或者白色，求黑色邊數不超過k的生成樹數量對10^9+7取模。 點數不超過50。
matrix-tree定理可以求出乙個無向圖的生成樹數量，但這個問題似乎不能直接用matrix-tree定理解決，我們換個思路，如果把度數矩陣與鄰接矩陣中的1換成代表顏色的字母代數x
和y。這樣得到的行列式就有x
和y這兩個未知元，此時行列式得到的值就是乙個關於x與y的多項式。而且可以發現xayb
的係數就是含有a
條x邊以及b
條y邊的生成樹數量。
由於乙個生成樹邊的數量等於點的數量-1，意味著得到的多項式滿足a+b+1=
點數。也就是說可以讓y=1
，這樣就可以少乙個變元，簡化接下來的運算。
暴力解乙個行列式需要列舉所有全排列的情況，時間複雜度極高。然而可以使用高斯消元來對行列式進行初等變換成乙個上三角矩陣，這樣只需要o(n3)
的時間複雜度來求乙個行列式對乙個質數的取模，n
為行列式的階數。
然而這回這個問題裡面有x
這個變元，意味著我們無法進行高斯消元。但是知道得到的值是關於x
的n階多項式，可以考慮插值，把這個多項式的係數都計算出來，如果我們得到了所有係數，這個問題就迎刃而解了。
需要對乙個n
階多項式插值，意味著至少需要知道n
個這個多項式的取值。所以將x=0
到n−1
代入矩陣，分別解出對應的行列式，就能得到這些取值，時間複雜度為o(n4)
。最後一步就是多項式插值，可以採用高斯消元或者拉格朗日插值法。 如果用高斯消元，係數矩陣是乙個0
到n−1
的範德蒙矩陣，它的逆矩陣可以直接計算出來。 如果採用拉格朗日插值，需要構造出n
個多項式，滿足當x=i
時值為1
，x≠i
時值為0
。對應取值的行向量與多項式構成的列向量做點積，就能得到這個行列式。
得到行列式之後，我們知道xi
的係數就是有i
條x邊的生成樹數量，所以只需將不超過k
的係數之和計算出來就是答案。
摘自大牛黃勇老師的文章
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