整數劃分問題（遞迴法或母函式法）

樣題：sdut2015寒假結訓賽

開始我還以為是用揹包來做，但是寫完了**，怎麼寫就是不對，並且在實現的時候確實有點地方我用揹包的演算法描述不了！

後來查到可以用：遞迴或者母函式演算法！

比賽時曾考慮過用遞迴來實現，但沒有推導出來，後來發現別人的部落格裡面寫著「整數劃分問題」應該在講解遞迴的時候就該學會了。

我的心裡頓時感到一股抱怨和悔恨，唉！當然自己的責任最大！

整數劃分問題是演算法中的乙個經典命題之一，有關這個問題的講述在講解到遞迴時基本都將涉及。所謂整數劃分，是指把乙個正整數n寫成如下形式：

n=m1+m2+...+mi; （其中mi為正整數，並且1 <= mi <= n），則為n的乙個劃分。

如果中的最大值不超過m，即max(m1,m2,...,mi)<=m，則稱它屬於n的乙個m劃分。這裡我們記n的m劃分的個數為f(n,m);

例如但n=4時，他有5個劃分，,,,,;

注意4=1+3 和 4=3+1被認為是同乙個劃分。

整數劃分是乙個非常經典的數學問題。

所謂整數劃分，是指把乙個正整數n寫成為n=m1+m2+...+mi的形式，其中mi為正整數，並且1<=mi<=n，此時，為n的乙個劃分。如果中的最大值不超過m，即max<=m，那麼我們稱之為整數n的乙個m劃分。

現在給出你正整數n和m，請你輸出n的m劃分的數量。

例如，當n=4時，有5個劃分，即, , , , 。

注意，4=1+3和4=3+1被認為是同乙個劃分。

輸入檔案以eof結束。

每組資料佔一行，有兩個正整數n和m。(n,m<=50)

輸出n的m劃分的數量。

4 4

資料量不大，遞迴演算法實現：

1 #include 2 #include 
3 #include 4 #include 5
6using
namespace
std;
78 unsigned long getpartitioncount(int n, int
max)919
20int
main()
2129
return0;
30 }

view code

根據n和m的關係，考慮以下幾種情況：

（1）當 n = 1 時，不論m的值為多少（m > 0 )，只有一種劃分即 ;

(2) 當 m = 1 時，不論n的值為多少，只有一種劃分即 n 個 1，;

(3) 當 n = m 時，根據劃分中是否包含 n，可以分為兩種情況：

(a). 劃分中包含n的情況，只有乙個即；

(b). 劃分中不包含n的情況，這時劃分中最大的數字也一定比 n 小，即 n 的所有 ( n - 1 ) 劃分。

因此 f(n, n) = 1 + f(n, n-1);

(4) 當 n < m 時，由於劃分中不可能出現負數，因此就相當於 f(n, n);

(5) 但 n > m 時，根據劃分中是否包含最大值 m，可以分為兩種情況：

(a). 劃分中包含 m 的情況，即 }, 其中的和為 n - m，可能再次出現 m，因此是（n - m）的 m 劃分，因此這種劃分

個數為 f(n-m, m);

(b). 劃分中不包含 m 的情況，則劃分中所有值都比 m 小，即 n 的 ( m - 1 ) 劃分，個數為 f(n, m - 1);

因此 f(n, m) = f(n - m, m) + f(n, m - 1);

綜合以上情況，我們可以看出，上面的結論具有遞迴定義特徵，其中（1）和（2）屬於回歸條件，（3）和（4）屬於特殊情況，將會轉換為情況（5）。而情況（5）為通用情況，屬於遞推的方法，其本質主要是通過減小m以達到回歸條件，從而解決問題。其遞推表示式如下：

f(n, m) = 1; ( n = 1 or m = 1 )

f(n, n); ( n < m )

1+ f(n, m - 1); ( n = m )

f(n - m, m) + f(n, m - 1); ( n > m )

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