回文樹總結

寫馬拉車還不如寫回文樹。

---by 陳菊開

原**請轉2023年集訓隊**《回文樹及其應用》by翁文濤

我感覺回文樹/回文自動機相較於字尾自動機還是要好理解一點的（像我這種菜雞到現在還不是很懂sam）。

回文樹，顧名思義，就是要把乙個串的所有回文子串丟到一棵樹上。那要向sam一樣記錄個什麼鬼\(endpos\)啥的嗎？不用。只需要對每一種本質不同的回文子串建乙個節點就可以了。（「本質不同」指的是長度不同或是內容不同，與出現位置無關）

對於乙個節點，也就是乙個回文子串，我們需要對他記錄以下資訊：

\(len\)：就是這個回文子串的長度

\(tr_c\)：在這個回文串的兩邊分別加上乙個字元\(c\)後形成的回文串

\(fail\)：這個回文串的最長回文字尾

為了方便表示回文樹的結構，我們額外定義了兩個根節點，\(odd\)和\(even\)。其中\(even\)是乙個長度為\(0\)的空串，\(odd\)是乙個不存在的長度為\(-1\)的串。

這樣的定義可以讓任何乙個回文子串都存在\(fail\)。比如說，串\(babbab\)的\(fail\)是\(bab\)，串\(aba\)的\(fail\)是\(a\)，串\(aa\)的\(fail\)是\(even\)，串\(b\)的\(fail\)是\(odd\)。特別的，定義\(even\)的\(fail\)是\(odd\)，\(odd\)的\(fail\)還是\(odd\)。

可以通過數學歸納法證明：乙個串中本質不同的回文子串的個數是\(o(n)\)級別的。

考慮在原串\(s\)後面插入乙個字元\(c\)，這樣就可能新形成若干以這個新字元\(c\)結尾的回文字尾。由於結束位置相同，所以較短的回文字尾也是較長的回文字尾的字尾。其中必然存在乙個長度最長的回文字尾，所有其他的回文字尾都是他的字尾。

那麼這時候考慮乙個回文串的基本性質：字尾等於字首（長度相同的情況下）。

所以既然所有其他回文字尾都是最長回文字尾的字尾，那麼他們就也是這個最長回文字尾的字首。

既然是字首，那麼就說明他們在之前的位置已經出現過了。

由此可以說明，在加入乙個字元後，至多增加乙個本質不同的回文子串。所以數量是\(o(n)\)級別的。

這樣你已經知道了回文樹/回文自動機的基本原理。但這還不夠，因為你還得知道——

這樣寫

struct palindromic_tree
void extend(int c,int n,char *s)
last=tr[v][c];
}};

其中\(0\)表示\(even\)，\(1\)表示\(odd\)。

是不是特別好寫？

這個嘛。。。

你可以求以某乙個位置結尾的最長回文字尾的長度（就是\(len_\)）

你把字尾樹建出來再維護乙個\(dep\)就可以知道有多少個回文串（不同位置的算不同的）

等等一些騷操作

鑑於我題做的還不是很多所以以後再補（也可能是永遠都不會補了）

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