筆記 差分約束系統

是個啥？？？

如果乙個系統由 \(n\) 個變數和 \(m\) 個約束條件組成，形成 \(m\) 個形如 \(x_i - y_i \leq k\) 的不等式（ \(i,j \in [ 1 , n ]\) ，\(k\) 為常數）,則稱其為差分約束系統（ \(system\)

\(of\)

\(difference\)

\(constraints\)）。

亦即，差分約束系統是求解關於一組變數的特殊不等式組的方法。

說句人話就是：

差分約束系統就是給出一些形如 \(x - y \leq b\) 不等式的約束，問你是否有滿足問題的解，或者求最小，最大解。

這類問題的 \(nb\) 之處就是可以轉化為圖論的最短路問題。

\[x_i - x_j \leq a_k

\]\[x_i \leq x_j + a_k

\]令 \(a_k = w(j,i)\) ，則有

\[x_i \leq x_j + w(j,i)

\]令 \(i = to\) ， \(j = from\) ， \(x = dis\) ，則有

\[dis_ \leq dis_ + w(from,to)

\]\(spfa\) 中的乙個鬆弛操作：

if(dis[to] > dis[from] + w(from,to))

dis[to] = dis[from] + w(from,to)

so~ 就可以針對每個 \(i\) 和 \(j\) 節點，建一條權值為 \(a_k\) 的有向邊，然後連圖，求 \(x_ - x_1\) 的最大值就是求節點 \(1 \to n\) 的最短路。

有 \(x_i ? x_j \leq k\) 的一堆不等式。

轉化為單源最短路中三角不等式 \(dis_i \leq dis_j + k\) 的形式，從 \(j\) 向 \(i\) 連一條權值為 \(k\) 的單向邊。

建立超級源點，與各點距離為 \(0\)，跑最短路。

若有負環則無解，否則最短路即為一組合法解。

合法解同加 \(\delta\) 仍為合法解。

然後

\(b - a \leq c\) ①

\(c - b \leq a\) ②

\(c - a \leq b\) ③

我們想要知道 \(c - a\) 的最大值，通過 ① \(+\) ②，可以得到 \(c - a \leq a + c\) ，所以這個問題其實就是求 \(min(b , a + c)\)

三角不等式推廣到 \(m\) 個，變數推廣為 \(n\) 個，就變成 \(n\) 個點 \(m\) 條邊的最短路問題。

bool spfa_bfs(int st)}}

}return false;
}

學習筆記 差分約束系統

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