學習筆記 Kruscal 重構樹

網上感覺沒有什麼很詳細 + 證明的講解啊）

前置：kruskal 求最小生成樹。

這個演算法可以將一棵樹 / 無向連通圖重構成一顆有性質的新樹。

演算法可以解決一些樹上瓶頸邊權之類的問題，可以把需要持久化的並查集給代替掉。

設 \(f_i\) 為 \(i\) 所在聯通塊的根。

演算法流程和 kruskal 最小生成樹的過程非常類似：

將所有邊按邊權從小到大排序

順序遍歷每條邊 \((u, v, w)\)，若 \(u, v\) 已經聯通跳過，否則建立乙個新點 \(x\)，讓 \(x\) 作為 \(f_u\) 與 \(f_v\) 的父親（即連 \(x \rightarrow f_u\) 和 \(x \rightarrow f_v\) 的有向邊），然後讓 \(f_u = f_v = x\)。這個新點的點權是 \(w\)。

時間複雜度 \(o(m \log m + n \log n)\)。

最後，以最後乙個建立的新點作為 \(rt\) ，就是一顆重構樹了（下面是乙個無向圖聯通變成重構樹的例子，排序後第 \(i\) 條邊的編號是 \(n + i\)，點權是紅色，藍色是新點，黑色是原來的點）。

這棵樹有如下性質：

如果求最大生成樹，反著排序，那麼偏序關係都反轉，就不贅述了。

為了方便我自己創了乙個名詞，如果從小到大排序形成的大根堆叫 kruscal 最小重構樹，反之叫 kruscal 最大重構樹。

[noi2018]歸程

預處理 \(d_i\) 表示從 \(i\) 到 \(1\) 的最短路徑，這個反著建邊跑最短路就行了。

如果可以離線，那麼從大到小排序邊權，然後執行 kruscal，維護一下每個聯通塊的最小值，每次在嘗試完 merge \(>p\) 的所有邊後，對應 \(o(1)\) 查詢就可以了。

用 kruscal 重構樹的話，從大到小排序邊權建 kruscal 最大重構樹，那麼從 \(v\) 出發經過 \(> p\) 的邊能到的點 \(=\)

\(v\) 的祖先中深度最小的滿足點權 \(> p\) 的點 \(x\) 的子樹中所有原來的點。

由於有單調性，倍增跳就好了，子樹點權最小，預處理一下就好了。

複雜度 \(o(m \log m +(n + q) \log n)\)

鏈結

#include #include #include #include #include #include using namespace std;
typedef pairpii;
const int n = 200005, m = 400005, inf = 2e9, l = 19;
int n, m, q, k, s, lastans, d[n], f[n << 1], w[n << 1], val[n << 1], cnt, fa[n << 1][l];
int head[n], nume = 0;
bool vis[n];
priority_queue, greater> q;
struct e e[m << 1];
vectorg[n << 1];
struct edge 
} b[m];
void inline add(int u, int v, int w) ;
head[u] = nume;
}void inline clear() 
void inline dijkstra() }}
}int find(int x) 
void inline kruscal() 
}void dfs(int u) 
}int main() ;
}dijkstra();
kruscal();
dfs(2 * n - 1);
scanf("%d%d%d", &q, &k, &s);
while (q--) 
if (t)
clear();
}return 0;
}

學習筆記 Kruscal 重構樹

kruscal重構樹略解

Kruskal重構樹學習筆記

學習筆記 Kruskal重構樹

學習筆記 Kruscal 重構樹

kruscal重構樹略解

Kruskal重構樹 學習筆記

學習筆記 Kruskal重構樹

相關推薦

Kruskal重構樹學習筆記