\[b_n = [n = 0] - \frac 1 \sum_^ \binom i b_i
\]同時有
\[\hat(x) = \sum_ b_i \frac = \frac x
\]所以可以使用多項式求逆求出伯努利數。
設自然數冪和函式 \(s_k(n) = \sum_^ i^k\)，那麼有：
\[s_k(n) = \frac 1 \sum_^k \binomi b_i n^
\]設 \(\hat_n(x) = \sum_ \frac s_i(n)\)，那麼：
\[\begin
\hat_n(x) &= \sum_ \frac \sum_^ j^i\\
&= \sum_^ \sum_ \frac \\
&= \sum_^ e^\\
&= \frac - 1}
\end
\]所以
\[\begin
s_k(n) &= k! [x^k] \frac - 1}\\
&= k! \sum_^k \frac [x^] (e^ - 1)\\
&= \frac 1 \sum_^k \binomi b_i n^
\end
\]洛谷p3711 倉鼠的數學題
求多項式 \(f(x) = \sum_^n s_k(x + 1) a_k\)。首先考慮求出 \(g(x) = f(x - 1)\) 然後再基變換回去。
那麼：\[\begin
g(x) &= \sum_^n \frac \sum_^ \binomi x^i b_\\
&= \sum_^n a_k k! \sum_^ \frac \frac }\\
&= \sum_^n \frac } \sum_^n a_k k! \frac}
\end
\]顯然的減法卷積形式，ntt 即可。
伯努利數簡單學習筆記
我們常用bib i 定義第i i個伯努利數。生成函式定義方式 ze z 1 n 0 bnz nn e z 1z n 0 bn n zn 這裡的z c z c c c為複數域 由於伯努利數是指數型函式的母函式，所以我們對exe x進行泰勒展開即可得到。前99 項伯努利數 b0 1b1 12 b2 1 ...
關於伯努利數
主要是寫這個部落格用來記錄自然數冪和與伯努利數的關係 伯努利數定義如下 b 0 1 sum nb ic i 0 於是我們有了它的遞推式 b n frac sum b ic i 有乙個經常用的東西，用來求自然數冪和 s m n sum i m s m n frac sum c b i n 1 上面的式...
伯努利數學習筆記
定義伯努利數列 b n 滿足 b 0 1,sum nb i 0 n 0 可以發現定義式裡面包含了 b n 這一項，於是把 b n 提出來 b n sum b i n 1 b n sum b i b n frac sum b i 直接用定義式求是 o n 2 的複雜度 把定義式的迴圈上界減一，得 su...