伯努利數是定義在實數上的乙個數列，其在\(\rm oi\)中的用處大多都是處理自然數冪和。
我們定義伯努利數\(b_i\)滿足：
\[b_0=1,\sum_^\binomb_i=0\ (n>0)
\]那麼易得：
\[b_0=1,b_1=-\frac,b_2=\frac,b_3=0,b_4=-\frac,b_5=0,...
\]注意到奇數字除了\(b_1\)都為\(0\)。
首先很顯然的我們把定義式移個項就可以得到\(o(n^2)\)的做法：
\[b_n=-\frac\sum_^\binomb_i
\]其實我們通過一些奧妙重重的方法可以做到\(o(n\log n)\)。
我們把定義式抄下來：
\[\sum_^\binomb_i=0\\
\sum_^\binomb_i=0
\]注意第二個式子要保證\(n>1\)。
\[\sum_^\binomb_i+b_n=b_n\\
\sum_^\binomb_n=b_n\\
\sum_^\frac=\frac
\]注意到這是個卷積的形式，我們寫出\(b_i\)的指數型生成函式：
\[b(x)=\sum_^\fracx^i
\]那麼顯然等式左邊就是\(b(x)\)卷上\(e^x\)，但是注意到上面那個等式只在\(n>1\)時成立，我們手玩一下\(n=0,1\)時卷積的樣子：
\[\begin
b(x)e^x&=b_0+(b_0+b_1)x+\cdots\\
b(x)&=b_0+b_1x+\cdots
\end
\]顯然\(b(x)\)少了個\(b_0x=x\)，我們加上就好了，可得：
\[b(x)e^x=b(x)+x\\
b(x)=\frac
\]那麼我們直接多項式求逆就可以做到\(o(n\log n)\)。
定義：\[s_p(n)=\sum_^i^p
\]然後我們搞出這個函式的指數型生成函式：
\[\begin
g_n(x)&=\sum_^\fracx^i\\
&=\sum_^\frac\sum_^j^i\\
&=\sum_^\sum_^\frac\\
&=\sum_^e^=\frac-e^}\\
\end
\]
後面乙個是根據\(e^\)的定義來的，即：注意到分母和\(b(x)\)長的一樣，我們把\(b(x)\)套進去：\[e^=\sum_^\frac
\]
\[\begin
g_n(x)&=b(x)\frac-e^x}\\
&=b(x)e^x\cdot \frac\cdot \left(-1+\sum_^\frac\right)\\
\end
\]注意到前面有乙個等式是這樣的：\(b(x)e^x=b(x)+x\)。
由於後面這個\(x\)不好處理，我們定義乙個新的伯努利數\(b'(x)=b(x)+x\)，注意到這個新的數列只有第一項和伯努利數不同，\(b'(1)=-b(1)\)。
因為只有一項不同，下面的式子為了美觀把b'寫成了b
\[\begin
g_n(x)&=\left(\sum_^\fracx^i\right)\cdot \left(\sum_^\frac}x^i\right)\\
&=\sum_^x^i\sum_^\frac}\cdot \frac}\\
&=\sum_^\frac\cdot \frac\sum_^i\binomb_n^
\end
\]對比係數可知：
\[\begin
s_i(n)&=\frac\sum_^i\binomb_n^\\
&=\frac\sum_^\binomb_jn^\\
&=\frac\sum_^\binomb_jn^\\
\end
\]那麼寫的好看一點，結論就是：
\[\sum_^i^k=\frac\sum_^\binomb_jn^
\]void get_bernoulli() {
b[0]=1;
for(int i=1;i多項式求逆不想寫了，以後遇到題再寫吧
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