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01揹包

動態規劃是一種高效的演算法。在數學和電腦科學中，是一種將複雜問題的分成多個簡單的小問題思想 ---- 分而治之。因此我們使用動態規劃的時候，原問題必須是重疊的子問題。運用動態規劃設計的演算法比一般樸素演算法高效很多，因為動態規劃不會重複計算已經計算過的子問題。因為動態規劃又可以稱為「記憶化搜尋」。

01揹包是介紹動態規劃最經典的例子，同時也是最簡單的乙個。我們先看看01揹包的是什麼？

問題(01揹包)：

有n個重量和價值分別為vi和ci的物品。從這些物品中挑出總重量不超過m的物品，求所有挑選方案中價值總和的最大值。

這就是被稱為01揹包的問題。在沒學習動態規劃之前，我們看到這個問題第一反應會用dfs搜尋一遍。那我們先使用這種方法來求解01揹包問題：

#include#include
using
namespace
std;
const
int n=1e3+1
;int
n,m,v[n],c[n];
//從第i個物品開始挑選總重量不大於sumv的部分 
int dfs(int now,int
sumv)
intmain()
/*期望得分：30分 
*/

乍一看dfs好像就可以解決這個問題，那還有動態規劃什麼事。然而我們仔細分析一下時間複雜度，每一種狀態都用選或者不選兩種可能。所以我們可以得出使用dfs的時間複雜度為o(2^n)。顯然這個方法不是乙個很好的方法，因為這個時間複雜度太高了。我們仔細研究可以發現，造成時間複雜度這麼高的原因是重複計算。既然我們找到複雜度這麼高的原因，那我們就可以想辦法減少它重複計算的次數。仔細分析容易想到，使用乙個二維陣列來記錄每一次搜尋的答案，這樣我們就避免了重複計算。

這樣的小技巧，我們稱之為記憶化搜尋。我們只是小小的改變就讓它的時間複雜度降低至o(nw)。

#include#include
#include
using
namespace
std;
const
int n=1e3+1
;int n,m,v[n],c[n],dp[n][n*10];//
儲存每一次搜尋的答案 
int dfs(int now,int
sumv)
intmain()
/*期望得分：60-80分 
*/

仔細分析，可以發現我們還可以有更簡單的寫法(轉成遞推)：

#include#include
#include
using
namespace
std;
const
int n=1e3+1
;int n,m,v[n],c[n],dp[n][n*10
];//
dp[i][j] 表示取了i個物品挑選出總重量不超過j的物品時，揹包中的最大價值
intmain()
}printf("%d
",dp[1
][m]);
return0;
}/*期望得分：60-80分 
*/

然後dp[i][j]的僅由dp[i+1][j]||dp[i+1][j-v[i]]轉移而來，於是我們可以滾動第一維：

#include#include
#include
using
namespace
std;
const
int n=1e3+1
;int n,m,v[n],c[n],dp[2][n*10
];int
main()
}printf("%d
",dp[now][m]);
return0;
}/*期望得分：100分 
*/

凡是可以滾動的，必定可以降維。——shenben

#include#include
#include
using
namespace
std;
const
int n=1e3+1
;int n,m,v[n],c[n],dp[n*10
];int
main()
}printf("%d
",dp[m]);
return0;
}/*期望得分：100分 
*/

使用遞推方程直接求解的方法，我們稱之為dp。因為他每一次的選取，都在動態的計算最優的情況。當然可能他區域性不是最優，但是整體一定是最優解。這就是他和貪心演算法最大的不同，貪心演算法，每一次都是最優，但是整體不一定不是最優。

多重揹包

問題(多重揹包)：

就是乙個0,1,2……k揹包（往01揹包上想就好了）

有n種重量和價值分別為vi和ci的物品，每種物品有si個。從這些物品中挑出總重量不超過m的物品，求所有挑選方案中價值總和的最大值

搜尋

//
期望得分：30-70分 
#include#include
#define n 10100
using
namespace
std;
intv[n],c[n],s[n],n,m;
intans;
void dfs(int now,int sumv,int
sumc)
dfs(now+1
,sumv,sumc);
for(int i=1;i<=s[now];i++) dfs(now+1,sumv+i*v[now],sumc+i*c[now]);
}int
main()

記憶化搜尋

//
期望得分：60-100分 
#include#include
#define n 10100
using
namespace
std;
intv[n],c[n],s[n],n,m;
intans;
int dp[101
][n];
int dfs(int now,int
sumv)
return
dp[now][sumv];
}int
main()

記憶化搜尋轉遞推

//
期望得分：60-100分 
#include#include
#define n 10100
using
namespace
std;
intv[n],c[n],s[n],n,m;
intans;
int dp[101
][n];
intmain()}}
printf("%d
",dp[1
][m]);
return0;
}

滾動陣列（滾動第一維）

//
期望得分：100分 
#include#include
#define n 10100
using
namespace
std;
intv[n],c[n],s[n],n,m;
intans;
int dp[2
][n];
intmain()}}
printf("%d
",dp[now][m]);
return0;
}

降維（用二進位制優化）

//
期望得分：100分 
#include#include
using
namespace
std;
inline 
intread()
while(ch>='
0'&&ch<='9')
return x*f;
}const
int n=1e5+10
;int n,m,cnt,xp[30
];int f[n*200
],v[n],c[n];
intmain()
if(z>0
) }
for(int i=1;i<=cnt;i++)
}printf("%d
",f[m]);
return0;
}

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