揹包問題 DP

01揹包

現在有1個體積為mmax的揹包和n種物品（每種物品只有1個）。每種物品的體積和價值分別是v[i]和w[i]。求這個揹包最多可以裝價值多少的物品。

這是最基礎的揹包問題，特點是：每種物品僅有一件，可以選擇放或不放。

用子問題定義狀態：設f[i][j]表示前i件物品恰放入乙個容量為j的揹包可以獲得的最大價值。

我們依次遍歷，到了第i件物品了

如果還能放的下這件物品我們就要考慮，到底是放入還是不放入這件物品會差生最大價值呢，我們需要做乙個比較，也就是

解釋一下f[i-1][j]是不放入這件物品，f[i-1]j-v[i]+w[i]是放入這件物品（這件物品的價值+前i-1件，體積減少了這件物品的揹包中的價值）

模板如下

#define n 10010

int v[n],w[n]; //每件物品的體積和價值

int n,mmax; //物品種類數以及揹包體積

int f[n][n]; //dp陣列

for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]; //提倡從1開始輸入

for(int i=1;i<=n;i++)

for(int j=0;j<=mmax;j++)

cout《完全揹包

現在有1個體積為mmax的揹包和n種物品（每種物品有無限個）。每種物品的體積和價值分別是v[i]和w[i]。求這個揹包最多可以裝價值多少的物品。

這是最基礎的揹包問題，特點是：每種物品有無限個，可以選擇放葉可以選擇不放，選擇放的時候可以放多個。

用子問題定義狀態：設f[i][j]表示前i件物品恰放入乙個容量為j的揹包可以獲得的最大價值。

我們依次遍歷，到了第i件物品了

模板如下

#define n 10010

int v[n],w[n]; //每件物品的體積和價值

int n,mmax; //物品種類數以及揹包體積

int f[n][n]; //dp陣列

for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]; //提倡從1開始輸入

for(int i=1;i<=n;i++)

for(int j=0;j<=mmax;j++)

for(int k=0;k*v[i]<=j;k++)

cout《通常我們不用上述模板嗎，而是採用優化後的模板，如下

優化思路: 轉化為01揹包問題求解

既然01揹包問題是最基本的揹包問題，那麼我們可以考慮把完全揹包問題轉化為01揹包問題來解。最簡單的想法是，考慮到第i種物品最多選mmax/v[i]件，於是可以把第i種物品轉化為mmax/v[i]件體積及價值均不變的物品，然後求解這個01揹包問題。這樣完全沒有改進基本思路的時間複雜度，但這畢竟給了我們將完全揹包問題轉化為01揹包問題的思路：將一種物品拆成多件物品。

更高效的轉化方法是：把第i種物品拆成體積為v[i]*2^k、價值為w[i]*2^k的若干件物品，其中k滿足v[i]*2^k<=mmax。這是二進位制的思想，因為不管最優策略選幾件第i種物品，總可以表示成若干個2^k件物品的和。這樣把每種物品拆成o(log(mmax/v[i]))件物品，是乙個很大的改進。

**:#define n 10010

int v[n],w[n]; //每件物品的體積和價值

int n,mmax; //物品種類數以及揹包體積

int f[n]; //dp陣列

for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i]>>w[i]; //提倡從1開始輸入

for(int i=1;i<=n;i++)

for(int j=v[i];j<=mmax;j++)

f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);

cout《多重揹包

有n種物品和乙個容量為v的揹包。第i種物品最多有n[i]件可用，每件費用是c[i]，價值是w[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使這些物品的費用總和不超過揹包容量，且價值總和最大。

這題目和完全揹包問題很類似。基本的方程只需將完全揹包問題的方程略微一改即可，因為對於第i種物品有n[i]+1種策略：取0件，取1件……取n[i]件。

模板如下

#define n 10010

int v[n],w[n],num[n]; //每件物品的體積和價值以及數量

int n,mmax; //物品種類數以及揹包體積

int f[n]; //dp陣列

for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i] >>w[i]>>num[i];

for(int i=1;i<=n;i++)

for(int j=mmax;j>=0;j--)

for(int k=0;k<=n[i];k++)

cout《優化後模板

#define n 10010

int v[n],w[n],num[n]; //每件物品的體積和價值以及數量

int n,mmax; //物品種類數以及揹包體積

int f[n]; //dp陣列

for(int i=1;i<=n;i++) cin>>v[i] >>w[i]>>num[i];

int k = n + 1;

for(int i=1;i<=n;i++)

}for(int i=1;i<=k;i++)

for(int j=m; j>=1;j--)

if (v[i]<=j) f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);

cout《部分參考自

揹包問題 DP

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