NOI2002 貪吃的九頭龍

p2940貪吃的九頭龍

貪吃的九頭龍(dragon.pas/c/cpp)

【問題描述】

傳說中的九頭龍是一種特別貪吃的動物。雖然名字叫「九頭龍」，但這只是說它出生的時候有九個頭，而在成長的過程中，它有時會長出很多的新頭，頭的總數會遠大於九，當然也會有舊頭因衰老而自己脫落。

有一天，有m個腦袋的九頭龍看到一棵長有n個果子的果樹，喜出望外，恨不得一口把它全部吃掉。可是必須照顧到每個頭，因此它需要把n個果子分成m組，每組至少有乙個果子，讓每個頭吃一組。

這m個腦袋中有乙個最大，稱為「大頭」，是眾頭之首，它要吃掉恰好k個果子，而且k個果子中理所當然地應該包括唯一的乙個最大的果子。果子由n-1根樹枝連線起來，由於果樹是乙個整體，因此可以從任意乙個果子出發沿著樹枝「走到」任何乙個其他的果子。

對於每段樹枝，如果它所連線的兩個果子需要由不同的頭來吃掉，那麼兩個頭會共同把樹枝弄斷而把果子分開；如果這兩個果子是由同乙個頭來吃掉，那麼這個頭會懶得把它弄斷而直接把果子連同樹枝一起吃掉。當然，吃樹枝並不是很舒服的，因此每段樹枝都有乙個吃下去的「難受值」，而九頭龍的難受值就是所有頭吃掉的樹枝的「難受值」之和。

九頭龍希望它的「難受值」盡量小，你能幫它算算嗎？

例如圖1所示的例子中，果樹包含8個果子，7段樹枝，各段樹枝的「難受值」標記在了樹枝的旁邊。九頭龍有兩個腦袋，大頭需要吃掉4個果子，其中必須包含最大的果子。即n=8，m=2，k=4：

輸入檔案dragon.in的第1行包含三個整數n (1

輸出檔案dragon.out僅有一行，包含乙個整數，表示在滿足「大頭」的要求的前提下，九頭龍的難受值的最小值。如果無法滿足要求，輸出-1。

8 2 4

1 2 20

1 3 4

1 4 13

2 5 10

2 6 12

3 7 15

3 8 5

4

該樣例對應於題目描述中的例子。

前言：

分析：

題目簡述：

將一棵樹中的節點染成m種顏色，每個節點有且只有一種顏色，在滿足以下條件下使得兩端顏色相同的邊的權值和最小，所有邊權均非負。

（1）必須有k個1號顏色的點；

（2）1號節點必須是1號顏色；

（3）每種顏色必須至少有乙個節點。如無解，輸-1。

無解的情況很明顯，當且僅當n-k

考慮用動態規劃來解決。

如果以一棵子樹作為乙個子結構，分析需要考慮的狀態：

（1）根節點的顏色。

（2）1號顏色的個數。

（3）樹中顏色的分配情況，如何保證每種顏色都有節點。

初步分析可以得到一種四維的狀態:

f[i][j][k][w]，表示在以i為根的子樹中，有j個1號節點，根染k號顏色，樹中已有的顏色用w表示（w是乙個二進位制數）的狀態下最小的權值和。

首先，這個方程用到了狀態壓縮w，因此對於本題300的資料範圍是不現實的，需要繼續思考。

假設這樣乙個問題，仍然是對樹染色，可以任意染色，那麼只要2種顏色，就可以保證任意一條邊兩端的顏色不同，聯想到這道題，因為1號顏色比較特殊，因此單獨處理，而餘下的顏色如果大於等於2種，那麼無論1號顏色如何染色，都可以保證一條邊兩邊不會出現相同的非1號顏色的情況，換言之，如果m>=3，對答案有貢獻的只有1號顏色節點之間的邊。這樣當m>=3時，可以直接按3處理，這樣狀態壓縮是可以承受的。既然有了這樣的優化，k也可以只用0,1來表示，1表示1號顏色，0表示非1號顏色。而m=2時就更簡單了，0,1就直接把顏色分開了。

初步分析下來，得到了乙個狀態數為o(n*k*2*2³)，轉移為o(k*2*2³)，總複雜度為o(n*k²*256)。由於n,k≤300，理論分析是會超時，但實際操作中可以不用迴圈到k，因為迴圈的上限可以設為min(k,子樹i的總節點數)。這樣的話，這個複雜度還是可以承受的。

本題還有優化嗎？答案是肯定的。

如果要優化狀態，前3維似乎是無法優化的，考慮第4維。之所以一開始要加入這一維，就是擔心會存在有一些顏色無法染上的問題，經過後來的分析，發現除了1號顏色會對答案有貢獻之外，其他顏色其實是可以被忽略的，因為我們可以保證它們不會對答案造成影響，那麼只要有足夠多的節點來染除1外的顏色，就可以確保每一種顏色都可以被染上，至於到底在**，其實並不重要。這樣想，就會發現其實第四維是完全多餘的，可以直接略去。

最終狀態:

f[i][j][k], 表示在以i為根的子樹中，有j個1號節點，根染k號顏色的狀態下最小的權值和。

注意：在具體轉移時，要先將原來的f[i]複製乙份，然後將f[i]清為無窮大，然後用備份的f[i]結合上述方程來計算f[i]的值。因為計算兒子沒計算完時的狀態是不能保留的，因為他們沒有考慮完所有的情況，嚴格來講，可以在上述方程中加上1維，表示計算到當前根的第幾個兒子，每一次都是有上一次的狀態和兒子的最終狀態合併。這樣就可以用滾動陣列或輔助陣列的方式來實現。

設y是i的乙個兒子。

f[i][j][1]=min

f[i][j][0]=min

初始值，對於每乙個i，f[i][0][0]=f[i][1][1]=0.

答案為f[1][k][1]。

ac**：

#include#include
using
namespace
std;
#define n 305
struct
nodee[n
<<1
];int tot,head[n<<1
];int
n,m,k;
int sum[n],tmp[n][2],f[n][n][2
];inline 
void min(int &x,int y,int
z)inline 
void add(int x,int y,int
z)void dp(int x,int
from
),f[y][k][1]+pref[i][j-k][0]);
memcpy(tmp,f[x],sizeof
f[x]);
memset(f[x],
127/3,sizeof
f[x]);
for(j=sum[x];j+1;j--)}}
}int
main()
for(int i=1,x,y,z;i)
dp(1,0);
printf(
"%d\n
",f[1][k][1
]); 
return0;
}

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題解 NOI2002 貪吃的九頭龍

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