NOIP2008 傳紙條（DP及滾動陣列優化）

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這道題有好多好多種做法呀……先說一下最暴力的，o（n^4的做法）

我們相當於要找兩條從左上到右下的路，使路上的數字和最大。所以其實路徑從**開始走並不重要，我們就直接假設全部是從左上出發的好啦。設dp[i][j][p][q]表示第一條路列舉到點(i,j)，第二條路列舉到點(p,q)時，當前能取到的最大值。

這樣dp方程很顯然，就是dp[i][j][p][q] = max(dp[i-1][j][p-1][q],dp[i][j-1][p-1][q],sp[i-1][j][p][q-1],dp[i][j-1][p][q-1]) + a[i][j] + a[p][q].如果i==p && j == q，那麼減去乙個a[i][j].最後dp[m][n][m][n]即為結果。

四層迴圈列舉，複雜度o（n^4），上一下**。

#include#include
#include
#include
#define rep(i,a,n) for(ll i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(ll i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar('\n')
using
namespace
std;
const
int m = 105
;typedef 
long
long
ll;int
read()
while(ch >= '
0' && ch <= '9'
) 
return ans *op;
}int m,n,dp[55][55][55][55],a[55][55
];int
main()
printf(
"%d\n
",dp[m][n][m][n]);
return0;
}

之後我們說一下怎麼優化。兩條路在走的時候，因為每次只能向右或者下走一格，所以兩者必然是在同一條斜對角線上的（一條從右上到左下的對角線）那麼我們就可以用對角線的橫縱座標和來表示當前dp到了**，之後每次只要列舉兩個點的橫座標就可以把路徑表示出來（也就是表示出來當前列舉的是哪兩個點）。這樣的話就可以把dp過程的時空降到三維的。

具體的寫法也很簡單，直接看一下**即可。

#include#include
#include
#include
#include
#include
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar('\n')
using
namespace
std;
typedef 
long
long
ll;const
int m = 60
;int n,m,f[m][m],dp[120
][m][m],q[m]; 
intread()
while(ch >='
0' && ch <= '9'
) 
return ans *op;
}int
main()}}
printf(
"%d\n
",dp[n+m][m][m]);
return0;
}

之後，時間複雜度基本已經不能再優化，不過空間複雜度卻可以優化到o（n^2）（其實還要再乘以乙個常數）

我們從剛才的三維dp的轉移過程來考慮一下。每次dp都是從上一條對角線上的元素轉移過來，和其他的對角線沒有任何關係，相當於我們在每次dp的時候只需要考慮兩個，乙個是i，乙個是i-1，在i-1之前的其實已經沒有了任何作用。所以我們完全可以廢物再利用。因為每次i的值只改變1，所以可以使用按位與的方法把它變成0或者1，之後直接dp即可，而最後的答案就是dp[(m+n)&1][m][m].這樣空間複雜度又會降一維。本題的資料範圍小，如果資料範圍較大，滾動陣列對於空間的節省就極為有用了。

看一下**。

#include#include
#include
#include
#include
#include
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
#define enter putchar('\n')
using
namespace
std;
typedef 
long
long
ll;const
int m = 60
;int n,m,f[m][m],dp[2
][m][m]; 
intread()
while(ch >='
0' && ch <= '9'
) 
return ans *op;
}int
main()}}
printf(
"%d\n
",dp[(n+m)&1
][m][m]);
return0;
}

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