求解所有的變數的所有次冪的每一種的和

2022-05-07 18:51:09 字數 774 閱讀 4118

標題很醜。。。

\(n\) 個變數 \(a_n\),求所有的

\[s_j=\sum_^a_i^j, j \in [0,m]

\]\(o(n*m)\) 太暴力了

設\[f(x)=\pi_^(a_ix+1)\]則

\[ln(f(x))=\sum_^ln(a_ix + 1)

\]考慮這個 \(ln(a_ix+1)\) 是個什麼

\[ln'(a_ix+1)=\frac=\sum_(-1)^ja_i^x^j

\]等比數列求和可證

那麼就有兩種方法

方法一

\[ln'(f(x))=\sum_^ln'(a_ix + 1)=\sum_^\sum_(-1)^ja_i^x^j

\]就是

\[\sum_(-1)^j(\sum_^a_i^)x_j

\]那麼分治 \(fft\) 然後求 \(ln\) 再 求導即可

方法二

\[ln'(a_ix+1)=\frac=\sum_(-1)^ja_i^x^j

\]把它積分一下

\[ln(a_ix+1)=\sum_\fraca_i^}x^

\]那麼

\[ln(f(x))=\sum_^\sum_\fraca_i^}x^\]即

\[ln(f(x))=\sum_\frac}(\sum_^a_i^j)x^

\]那麼分治 \(fft\) 然後求 \(ln\) 即可

還有乙隻 \(log\) 的做法,見 \(zzq\)的部落格

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