莫比烏斯反演是數論數學中很重要的內容，可以用於解決很多組合數學的問題。莫比烏斯反演在大部分情況下都能簡化運算。
我們考慮乙個函式\(f(x)=\sum_g(d)\)
那麼顯然
\(f(1)=g(1)\)
\(f(2)=g(1)+g(2)\)
\(f(3)=g(1)+g(3)\)
\(f(4)=g(1)+g(2)+g(4)\)
\(f(5)=g(1)+g(5)\)
\(f(6)=g(1)+g(2)+g(3)+g(6)\)
\(f(7)=g(1)+g(7)\)
\(f(8)=g(1)+g(2)+g(4)+g(8)\)
所以\(g(1)=f(1)\)
\(g(2)=f(2)-f(1)\)
\(g(3)=f(3)-f(1)\)
\(g(4)=f(4)-f(2)\)
\(g(5)=f(5)-f(1)\)
\(g(6)=f(6)-f(3)-f(2)+f(1)\)
\(g(7)=f(7)-f(1)\)
\(g(8)=f(8)-f(4)\)
從此可以看出若\(f(x)=\sum_g(d)\)
那麼\(g(x)=\sum_k*f(d)(k是係數)\)(也就是說\(g(x)可以由f(d)(\)d是x\(的約數)經過一定的變化反推出來\))
我們假設\(x=p^2(p是質數)\)
所以\(f(p)=g(p)+g(1),f(x)=g(x)+g(p)+g(1)\)
顯然\(g(x)=f(x)-f(p)\)
可以看到
\(d=1時，k=0\)
\(d=p時，k=-1\)
\(d=x=p^2時，k=1\)
假設\(k=μ(\frac)\) 所以此時
\(μ(p^2)=0,μ(p)=-1,μ(1)=1\)
定義函式\(μ(x)\)
\(μ(1)=1\)
當\(x=p_1p_2p_3\ldots p_n(p為質數且次數都是1)\),\(μ(x)=(-1)^n\)
對於其他情況\(μ(x)=0\)
顯然\(μ\)是乙個積性函式，我們在計算時一般用篩素數的方法進行預處理(就像你線性求尤拉函式一樣)
若有\(f(x)=\sum_g(d)\)
那麼\(g(x)=\sum_μ(\frac)f(d)\)
這就是莫比烏斯反演定理。
當然，這還有一種形式(其實第二種用得更多，但不好匯入)
若有\(f(x)=\sum_g(d)\)
那麼\(g(x)=\sum_μ(\frac)f(d)\)
證明一下形式1(第二種依此類推即可)
ps:為了看著舒服，將所有\(d\)替換成\(i\)
\(f(x)=\sum_g(i)\)
\(g(x)=\sum_μ(\frac)f(i)\)
把\(g(x)\)帶入\(f(x)\)
\[f(x)=\sum_\sum_μ(\frac)f(j)
\]因為\(j|i\)且\(i|x\),那麼肯定有 \(j|x\)且\(\frac|\frac\)
\[f(x)=\sum_f(j)\sum_|\frac}μ(\frac)
\]看著很不爽，把\(\frac\)替換成\(i\)
\[f(x)=\sum_f(j)\sum_}μ(i)
\]先設\(h(x)=\sum_μ(i)\)
\[f(x)=\sum_f(j)h(\frac)
\]考慮\(h(x)\)怎麼求
顯然\(h(1)=1\)
當\(x\neq 1\)時
設\(x=p_1^p_2^...p_n^,p_k為互不相同的質數\)
那麼\(i=p_1^p_2^...p_n^,\)任意\(b_k\leq a_k\)
根據莫比烏斯函式的定義,若有任意乙個\(b_k\geq 2\)
那麼\(μ(i)=0\),對結果沒有貢獻;
若所有\(b_k\leq 1\),
對於\(b_1\)來說(任意乙個\(b_k\)都可以,這裡例舉\(b_1\))，在其他位不變的情況下
根據莫比烏斯函式的定義
\(b_1\)為\(0\)或者為\(1\)的答案乙個是\(1\)，另乙個就是\(-1\)
加起來就是\(0\)了，所以\(b_1=1\)的所有情況加上\(b_1=0\)的結果為\(0\)
而\(b_1\geq 2\)時，\(μ(i)=0\)
所以\(h(x)=0\)
所有當且僅當\(x=1\)時\(h(x)=1\),否則\(h(x)=0\)
把\(h(x)\)往上代，就會愉快的發現等式成立了。
剩下的就是靈活運用啦
莫比烏斯反演 二 莫比烏斯反演定理
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