首先設兩個任意函式f(x)和f(x), 定義運算:
\[f(x)=\sum _ f(d)
\]這時就可以用f(x)表示f(x):
\[f(1)=f(1)\\
f(2)=f(1)+f(2)\\
f(3)=f(3)+f(1)\\
f(4)=f(4)+f(2)+f(1)\\
f(5)=f(5)+f(1) \\
f(6)=f(6)+f(3)+f(2)+f(1)\\
......
\]這時可以試著用f(x)表示f(x):
\[f(1)=f(1)\\
f(2)=f(2)-f(1)=f(1)\\
f(3)=f(3)-f(1)=f(3)-f(1)\\
f(4)=f(4)-f(2)-f(1)=f(4)-f(2)\\
f(5)=f(5)-f(1)=f(5)-f(1)\\
f(6)=f(6)-f(3)-f(2)-f(1)=f(6)-f(3)-f(2)+f(1)\\
......
\]這裡總結出幾個推論: 設質數p, 則可以寫出f(x)函式表示f(p)的公式
\[\because f(p)=f(1)+f(p)\\f(p^2)=f(1)+f(p)+f(p^2)\\\therefore f(p)=f(p^2)-f(p)
\]其餘情況下, 對任意數n, f(n)是由其因數的f(x)函式, 都是由n的因數的f(x)函式值加減得到的, 對於每一項的正負, 和
\[\because \mu(p^2)=0 \\f(p)=f(p^2)-f(1)\\\therefore f(n)=\sum _ \mu(d)f(\frac nd)
\]這便是莫比烏斯反演定理.
莫比烏斯反演
首先 莫比烏斯函式有個性質 d n d 1 n 1 0 n 1 證明 n 1時，不做多餘說明。n 1 根據唯一分解定理，可以分解n ki 1pai i 對於那些含平方因子也就是存在ai 不為1的數，它的函式值為0，對答案沒有任何貢獻。所以我們來看看那些是互異素數乘積的數，每乙個成為它約數的數是什麼樣...
莫比烏斯反演
定理 f n 和f n 是定義在非負整數集合上的兩個函式，並且滿足條件f n d nf d 那麼我們得到結論f n d n d f n d 在上面的公式中有乙個函式 d 它的定義如下 1 若d 1，那麼 d 1 2 若d p1 p2 p k 均為互異素數，那麼 d 1 k 3 其它情況下 d 0 對...
莫比烏斯反演
最近學了一下莫比烏斯反演 實際只學了2天,旁邊hyh還一直吵吵吵 所以還是來寫寫現在能寫出來的東西吧.莫比烏斯反演,指的是對於乙個數論函式f n 有 f n d nf d 這裡f d 是另乙個數論函式,那麼就會有 f n d n d f nd 然後就能夠通過把難求的東西轉化成另外好求一點的東西以求和...