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具體可以參考上面鏈結 我的原blog 可能有些無法顯示全在csdn
本文主要基於xtx的講稿 加上自己學習的一些體會
首先，我們考慮這樣的乙個表示式
f(1)=f(1)
f(2)=f(1)+f(2)
f(4)=f(1)+f(2)+f(4)
f(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)
試試用f(1)~f(n)來表示f(n)?
f(1)=f(1)
f(2)=f(2)-f(1)
f(4)=f(4)-f(2)
f(6)=f(6)-f(3)-f(2)+f(1)
回顧一下f(n)的表示式，顯然有這種表示方法
μ(x)就是mobius函式，有
性質1 ：
證明：x=1 顯然成立
x>1，不妨設
有 要是看不懂就是公式沒記下來——-xtx orz
性質2φ(n)表示尤拉函式
證明令f(n)=n，f(n)=φ(n)，有
利用mobius反演得證
至於 的證明，引入積性
函式概念
積性函式：
對於f(n)(定義域n*)，(x,y)=1=>f(xy)=f(x)f(y)，則稱f(n)是積性函式
完全積性函式：滿足f(p^k)=f(p)^k的積性函式
常見積性函式：
φ(n),μ(n),d(n)(正因子個數),σ(n)(正因子之和)…
積性函式性質：
若f(n)為積性函式，有
1.f(1)=1
2.積性函式的約數和也為積性函式
積性函式的字首和呢？
這是一類問題。。。
如何證明：
n=1顯然成立
考慮數學歸納法
n>1，設n=p^t*q (q,p)=1
若q>1，由積性函式性質2，得證
若q=1，φ(1)+φ(p)+φ(p^2)+…φ(p^t)=p^t=n
莫比烏斯反演 二 莫比烏斯反演定理
首先設兩個任意函式f x 和f x 定義運算 f x sum f d 這時就可以用f x 表示f x f 1 f 1 f 2 f 1 f 2 f 3 f 3 f 1 f 4 f 4 f 2 f 1 f 5 f 5 f 1 f 6 f 6 f 3 f 2 f 1 這時可以試著用f x 表示f x f ...
莫比烏斯反演
首先 莫比烏斯函式有個性質 d n d 1 n 1 0 n 1 證明 n 1時，不做多餘說明。n 1 根據唯一分解定理，可以分解n ki 1pai i 對於那些含平方因子也就是存在ai 不為1的數，它的函式值為0，對答案沒有任何貢獻。所以我們來看看那些是互異素數乘積的數，每乙個成為它約數的數是什麼樣...
莫比烏斯反演
定理 f n 和f n 是定義在非負整數集合上的兩個函式，並且滿足條件f n d nf d 那麼我們得到結論f n d n d f n d 在上面的公式中有乙個函式 d 它的定義如下 1 若d 1，那麼 d 1 2 若d p1 p2 p k 均為互異素數，那麼 d 1 k 3 其它情況下 d 0 對...