首先 莫比烏斯函式有個性質∑d
|nμ(
d)={
1(n=
1)0(
n>1)
證明： ①n
=1時，不做多餘說明。。。 ②n
>1
,根據唯一分解定理，可以分解n=
∏ki=
1pai
i 對於那些含平方因子也就是存在ai
不為1的數，它的函式值為0，對答案沒有任何貢獻。
所以我們來看看那些是互異素數乘積的數，每乙個成為它約數的數是什麼樣的情況。
（1）若d
中有0個質因子(d=
1 )，其函式值為1，這樣的數有c0
k 個 （2）若有1個質因子，其函式值為-1，這樣的數有c1
k 個 （3）若有2個質因子，其函式值為1，這樣的數有c2
k 個 所以最後我們發現
∑d|n
μ(d)
=c0k
−c1k
+c2k
−...
+(−1
)kck
k=∑k
i=0(
−1)i
cik
怎麼證明後面那個和式值為0？
二項式定理(a
+b)n
=∑ni
=0ci
naib
n−i
令上面的n=
k,a=
−1,b
=1 得
∑ki=
0(−1
)ici
k=(−
1+1)
k =0.
該性質得證。
證明：最後乙個式子是由莫比烏斯函式的性質的出來的。。。
這就是莫比烏斯反演 可以簡化運算
莫比烏斯反演 二 莫比烏斯反演定理
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